Брело М. Основы классической теории потенциала. - М., 1964.
Предлагаемая книга возникла из курса лекций, читанных известным французским математиком М. Брело в Парижском университете. В ней излагаются основные концепции современной теории потенциала в том виде, как они развиваются французской математической школой со времен А. Пуанкаре н А. Лебега. Изложение ведется в классической форме, т. е, применительно к евклидовым пространствам.
Современная теория потенциала находит важные и все более расширяющиеся применения в теории функций, теории краевых задач математической физики и теории вероятностей. Эта книга будет полезной для всех математиков н физиков, интересы которых лежат в указанных областях. Для понимания изложения требуется владение основными понятиями математического анализа и теоретико-множественной топологии.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика ........................................5
Предисловие ............................................7
Предисловие ко второму изданию........................8
Глава I. Некоторые свойства действительных гармонических функций .............9
§ 1. Принцип минимума (или максимума)............9
§ 2. Топологическая лемма (Шоке)....................10
§ 3. Классическая лемма Дени — Картана ..........11
§ 4. Перечень свойств сходимости и компактности для гармонических функций ........................13
§ 5. Норма Дирихле и теорема полноты..............14
§ 6. Уравнение ΔТ = 0 в смысле теории обобщенных функций........................................17
§ 7. Решение задачи Дирихле в кольце................17
§ 8. Непрерывность градиента гармонической функции на границе......................................20
Библиография...............................22
Глава II. Функции супергармонические и почти супергармонические ..................................24
§ 1. Функции супергармонические в широком смысле (Ф. Рисс)......................................24
§ 2. Параметры Бляшке — Привалова................25
§ 3. Супергармонические функции.............28
§ 4. Примеры супергармонических и субгармонических функций........................................29
§ 5. Локальные свойства............................30
§ 6. Аппроксимация супергармонических функций ... 32
§ 7. Теорема Рисса о выпуклости....................33
§ 8. Гармонические миноранты ......................35
§ 9. Почти супергармонические функции (Шпильрейн) 36
Библиография..........................40
Глава III. Введение полярных множеств..............41
§ 1. Определение....................................41
§ 2. Свойства........................................43
Библиография................................44
Глава IV. Классические потенциалы ..................45
§ 1. Определение....................................45
§ 2. Использование обобщенных функций ............46
§ 3. Функция Грина для шара и потенциал Грина . . 48
§ 4. Закон взаимности..............................52
§ 5. Непрерывность потенциала на носителе масс . . 53
§ 6. Преобразования пространства....................54
Библиография................................56
Глава V. Классические и общие емкости ............57
Первая часть. Классические емкости Грина в шаре..........57
§ 1. Емкостный потенциал и емкость компактного множества .................57
§ 2. Свойства емкости и емкостного потенциала ... 58
§ 3. Емкости произвольных множеств................61
Вторая часть. Емкость Шоке............................64
§ 4. Общее определение емкости......................64
§ 5. Последовательные разности......................65
§ 6. Внутренняя емкость множества..................68
§ 7. Внешняя емкость................................69
§ 8. φ-измеримые множества .......................71
Библиография................................75
Глава VI. Общее понятие потенциала и теорема сходимости. Первоначальные применения. Введение понятия выметания........................76
§ 1. Общие понятия..................................76
§ 2. Полунепрерывные и регулярные ядра ..........79
§ 3. Теорема сходимости............................82
§ 4. Применение к классическому случаю............85
§ 5. Классические применения теоремы сходимости . . 86
Библиография...........................89
Глава VII. Разреженные множества....................90
§ 1. Определение ...................................90
§ 2. Свойства........................................91
§ 3. Общий критерий разреженности ................92
§ 4. Основная теорема о множестве точек разрежения некоторого множества...........94
§ 5. Случай замкнутых множеств ..............95
§ 6. Тонкая топология ..............................98
Библиография................................102
Глава VIII. Задача Дирихле в пространстве Z?71 . . . . 103
§ 1. Определение функции Hf........................103
§ 2. Свойства . .....................................104
§ 3. Случай конечных и непрерывных граничных данных 108
§ 4. Основная теорема разрешимости ................110
§ 5. Устранимые множества на границе..............112
§ 6. Поведение решения на границе .................113
§ 7. Поведение Hf в иррегулярной граничной точке когда функция f разрешима .....115
Библиография.........................117
Глава IX. Функция Грина............................119
§ 1. Определение ...................................119
§ 2. Продолжение функции Грина ....................121
§ 3. Различные применения; характеризация иррегулярных точек...................122
§ 4. Гармоническая мера и выметание................123
§ 5. Глобальное представление Рисса на произвольном открытом множестве ...........124
§ 6. Наилучшая и наибольшая гармонические миноранты ...........................126
§ 7. Выметание в произвольном ограниченном открытом множестве с ядром Грина..........128
Библиография................................130
Глава X. Норма и принцип Дирихле..................131
§ 1. Предварительная форма ........................131
§ 2. Классический принцип Дирихле..................132
§ 3. Функции типа BLD..............................136
Библиография..................................137
Глава XI. Энергетические понятия....................138
§ 1. Введение .....................................138
§ 2. Взаимная энергия двух положительных мер ........140
§ 3. Энергия мер произвольного знака................142
§ 4. Принцип мажорирования или принцип максимума А. Картана.............143
§ 5. Основная теорема А. Картана..................144
§ 6. Проекция в ..................................148
§ 7. Выметание относительно произвольного компактного множества.........149
§ 8. Емкостное распределение и энергия ............151
§ 9. Энергия и интеграл Дирихле....................152
§ 10. Распространение на случай ограниченной области Q в пространстве Rn ...........154
Библиография................................157
Глава XII. Экстремальные элементы и граница Мартина 158
§ 1. Граница Мартина................................158
§ 2. Интегральное представление положительных гармонических функций.................160
§ 3. Формулировка теоремы Шоке и ее применение ........ 161
§ 4. О роли границы Мартина ........................162
Библиография .. .......................163
Краткий обзор и дополнительная библиография современной теории потенциала...........165
Дополнительная библиография . . . 167
Приложение. Основные элементарные понятия, относящиеся к гармоническим функциям ..................169
§ 1. Основные свойства..............................169
§ 2. Применение обыкновенного лапласиана............176
§ 3. Конформное преобразование . ...................179
§ 4. Логарифмический потенциал...............182
§ 5. Аналитичность гармонических функций............185
§ 6. Интеграл Пуассона ...........................187
§ 7. Семейства гармонических функций. Сходимость ..........192
§ 8. Изучение гармонических функций в окрестности особой точки...............195
§ 9. Распространение на евклидовы пространства Rn при n>2....................202
