Бергман С. Интегральные операторы в теории линейных уравнений с частными производными. - М.: Мир, 1964.
В этой монографий изложены основы развитого автором метода интегральных представлений решений линейных уравнений с частными производными. В основе метода лежит получение классов решений этих уравнений из аналитических функций при помощи специальных интегральных операторов.
В книге рассматриваются уравнения и системы с двумя и тремя независимыми переменными (в частности, строится теория гармонических векторов в пространстве, являющаяся пространственным аналогом теории аналитических функций). Специальная глава посвящена уравнениям смешанного типа и уравнениям, коэффициенты которых имеют особенности.
Метод Бергмана успешно применяется в ряде прикладных задач, но возможности его применения еще далеко не исчерпаны. Поэтому книга представит определенную ценность не только для математиков» занимающихся теорией уравнений с частными производными и теорией аналитических функций, но также и для механиков, физиков и инженеров-исследоватблей. Она доступна также студентам старших курсов.
Русское издание дополнено переводом трех статей автора, тематика которых примыкает к вопросам, изложенным в книге.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ............. 5
Предисловие..................... 9
Введение......................... 11
Глава I. Дифференциальные уравнения с целыми коэффициентами с двумя независимыми переменными 25
§ 1. Представление решений уравнений с частными производными............ 25
§ 2. Интегральный оператор первого рода ... 28
§ 3. Дальнейшие представления интегральных операторов................ 33
§ 4. Представление оператора первого рода посредством интегралов........... 37
§ 5. Свойства интегрального оператора первого рода.................. 40
§ 6. Некоторые дальнейшие свойства интегрального оператора первого рода ....... 42
§ 7. Дифференциальное уравнение ................ 51
§ 8. Интегральные операторы экспоненциального типа................... 57
§ 9. Дифференциальное уравнение ......................... 60
§ 10. Дифференциальные уравнения высшего порядка ................... 64
Глава II. Гармонические функции трех переменных .... 68
§ 1. Предварительные сведения..................68
§ 2. Характеристическое пространство . . . . 69
§ 3. Гармонические функции, В3-ассоциироваииые функции которых рациональны........75
§ 4. Периоды.................. 85
§ 5. Связь между коэффициентами разложения гармонической функции в ряд и ее особенностями ...... 91
§ 6. Другой тип интегральных представлений гармонических функций............ 95
§ 7. Поведение в целом функций класса S с рациональной ассоциированной ................. 98
Глава III. Дифференциальные уравнения с тремя переменными ......................103
§ 1. Интегральный оператор, порождающий решения уравнения Д............... 103
§ 2. Разложение в ряд решений уравнения .......106
§ 3. Интегральный оператор, порождающий решения уравнения .....
§ 4. Второй интегральный оператор, порождающий решения уравнения ............ 114
§ 5. Интегральный оператор, порождающий решения уравнения ................ 117
§ 6. Интегральный оператор, порождающий решения уравнения ................121
Глава IV. Системы дифференциальных уравнений.....129
§ 1. Гармонические векторы от трех переменных. Предварительные сведения.........129
§ 2. Гармонические векторы в целом и их представление посредством интегралов.......131
§ 3. Интегралы от гармонических векторов .... 136
§ 4. Связь интегралов от алгебраических гармонических векторов трех переменных с интегралами от алгебраических функций одного комплексного переменного............140
§ 5. Обобщение теорем о вычетах на случай уравнения ...........145
§ 6. Оператор, порождающий решения системы
Глава V. Уравнения смешанного типа и эллиптические уравнения с сингулярными и неаналитическими коэффициентами ...................166
§ 1. Введение. Упрощенный случай уравнения смешанного типа................166
§ 2. Обобщение представления (1.12) решений уравнения (1.6)...............169
§ 3. Оператор (1.116) в общем случае......175
§ 4. Порождающие функции, аналогичные решениям гипергеометрического уравнения .... 181
§ 5. О решении задачи Коши в целом......185
§ 6. Обобщенные уравнения Коши — Римана . . . 18S
§ 7. Дифференциальное уравнение с новым типом особенности функции N . . . 192
§ 8. Интегральный оператор для уравнений с неаналитическими коэффициентами......195
Литература.......................202
приложение.....................219
Операторы, порождающие решения некоторых дифференциальных уравнений с тремя переменными, и их свойства .........................219
К проблеме коэффициентов в теории систем линейных уравнений с частными производными............252
Применение интегральных операторов при изучении алгебры гармонических функций трех переменных и проблемы коэффициентов....................279
