Бакельман И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений. - М., 1965 г., 340 стр. с илл.
Хорошо известно, что многочисленные проблемы геометрии, вариационного исчисления и механики тесно связаны с краевыми задачами для эллиптических нелинейных уравнении. И этой книге подробно изучаются взаимосвязи между геометрией и эллиптическими краевыми задачами. Наибольшее внимание уделено первой краевой задаче (задаче Дирихле).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Ведение........................ 7
Глава I. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОБЩЕГО НЕЛИНЕЙНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Основные понятия и вспомогательные сведения..... 14
§ 2. Задача Дирихле дли общего нелинейного эллиптического уравнения....................... 47
§ 3. Аффинные оценки решений линейных эллиптических уравнений................... 58
§ 4. Априорные оценки вторых и старших производных нелинейны эллиптичсских уравнений в классах гельдеровых функций...................... 78
§ 5. Усиленные теоремы существования........... 96
Глава II. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЛАБЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
§ 6. Априорная оценка модуля решения...........105
§ 7. Априорные оценки первых производных квазилинейного уравнения класса L...................110
§ 8. Теорема существования.................123
Глава III. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С СИЛЬНЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
§ 9. Геометрический метод оценки модуля решений квазилинейных уравнений...................130
§ 10. Априорные оценки первых производных на границе области........................144
§ 11. Априорные оценки первых производных внутри области 155
§ 12. Теорема существования, случай уравнения вида ...................162
§ 13. Задача Дирихле для квазилинейного уравнения в невыпуклой области........................165
§ 14. Построение минимальной поверхности с невыпуклой проекцией.......................173
§ 15. Построение поверхности с данной средней кривизной 177
Глава IV. УРАВНЕНИЯ МОНЖА — АМПЕРА (ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ)
§ 16. Основные понятия и факты теории выпуклых поверхностей.................187
§ 17. Свойства выпуклых поверхностей, связанные с условной кривизной.....................193
§ 18. Простейшие уравнения Монжа — Ампера....... 205
§ 19. Гладкость обобщенных решений. Теорема единственности. Проблема многих решений .....226
§ 20. n-мерные аналоги уравнений Монжа — Ампера (n > 2).
Сильно эллиптические уравнения Монжа — Ампера .............. 251
Глава V. РЕГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МОНЖА — АМПЕРА
§ 21. Регулярные решения задачи Дирихле для уравнения...............289
§ 22. Регулярность обобщенных решений уравнений Монжа — Ампера........................307
ДОПОЛНЕНИЕ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
Априорные оценки первых производных (случай звездной невыпуклой области)..................335
Литература.......................339
