Бермант А.Ф. Курс математического анализа - М;Л: Гос.изд-во технико-теоретической лит-ры, 1951. - 443 с.
Эта книга — учебник по математике, а не справочник или сбор-ник рецептов — как «шагать», производя различные операции анализа. Она предназначена и для того, чтобы развить у читателя математическое мышление и требовательность, расширить математический кругозор. Поэтому все положения высказываются с точным перечислением условий, при которых они справедливы, доказательства даются полные, но, разумеется, «с точностью до теории действительных чисел», не развиваемой в этой книге. Исключения составляют некоторые «теоремы существования». В случае, если доказательства не приводятся, это оговаривается, и читатель отсылается к более полным руководствам.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к седьмому изданию 8
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Математический анализ и его значение II
1. «Элементарная» и «высшая» математика II
2. Понятие величины. Переменная величина и функциональная зависимость 13
3. Математический анализ и действительность 15
§ 2. Некоторые исторические замечания 19
4. Великие отечественные математики: Л. П. Эйлер, Н. И. Лоба-чевский, П. Л. Чебышев 19
5. Крупнейшие отечественные инженеры-математики: Н.Е. Жу-ковский, С. А. Чаплыгин, А. Н. Крылов 21
§ 3. Действительные числа 22
6. Действительные числа. Числовая ось 22
7. Интервал. Абсолютная величина 25
8. О приближённых вычислениях 28
Глава 1
ФУНКЦИЯ
§ 1. Функции и способы их задания 31
9. Понятие функции 31
10. Способы задания функции 32
§ 2. Символика и классификация функций 36
11. Символика 36
12. Понятие сложной функции. Элементарные функции 38
13. Классификация функций 40
§ 3. Простейшее изучение функций 43
14. Область определения функции. Область определённости ана-литического выражения 43
15. Элементы поведения функции 47
16. Графическое изучение функции. Линейная комбинация функций 50
§ 4. Простейшие функции 52
17. Прямая пропорциональная зависимость и линейная функция.
Понятие приращения 52
18. Квадратичная функция 55
19. Обратная пропорциональная зависимость и дробно-линейная
функция 58
§ 5. Обратная функция. Степенная, показательная и логарифмическая функции , 61
20. Понятие обратной функции 61
21. Степенная функция 64
22. Показательная и гиперболические функции 66
23. Логарифмическая функция 69
§ 6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 71
24. Тригонометрические функции 71
25. Простые и сложные гармонические колебания 73
26. Обратные тригонометрические функции 77
ГЛАВА II
ПРЕДЕЛ
§ 1. Основные определения 80
27. Предел функции целочисленного аргумента 80
28. Примеры 82
29. Предел функции непрерывного аргумента 85
§ 2. Бесконечные величины. Правила предельного перехода . 91
30. Бесконечно большие величины. Ограниченные функции 91
31. Бесконечно малые величины 95
32. Правила предельного перехода 97
33. Примеры 102
34. Признаки существования предела 104
§ 3. Непрерывные функции 106
35. Непрерывность функции 106
36. Точки разрыва функции 109
37. Общие свойства непрерывных функций 113
38. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность эле-ментарных функций 117
§ 4. Сравнение бесконечно малых. Некоторые замечательные
пределы 120
39. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые 120
40. Примеры отношений бесконечно малых 124
41. Число е. Натуральные логарифмы 126
ГЛАВА III
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Понятие производной. Скорость изменения функции 131
42. Некоторые понятия физики 131
43. Производная функция 136
44. Геометрическая интерпретация производной 139
45. Некоторые свойства параболы 142
§ 2. Дифференцирование функций 143
46. Дифференцирование результатов арифметических действий 143
47. Дифференцирование сложной функции 147
48. Производные основных элементарных функций 150
49. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование
обратных и неявных функций 155
50. Графическое дифференцирование 159
§ 3. Понятие дифференциала. Дифференцируемость функции ... 160
51. Дифференциал и его геометрическая интерпретация 160
52. Свойства дифференциала 164
53. Применение дифференциала к приближённым вычислениям 166
54. Дифференцируемость функции. Гладкость линии 169
§ 4. Производная как скорость изменения (дальнейшие примеры) 172
55. Скорость изменения функции относительно функции. Пара-метрическое задание функций и линий 172
56. Скорость изменения полярного радиуса 177
57. Скорость изменения длины линии 180
58. Процессы органического роста 182
§ 5. Повторное дифференцирование 184
59. Производные высших порядков 184
60. Формула Лейбница 187
61. Дифференциалы высших порядков 189
ГЛАВА IV
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
§ 1. Поведение функции «в точке» , 192
62. Построение графика по «элементам» 192
63. Поведение функции «в точке». Экстремумы 193
64. Признаки поведения функции «в точке» 197
§ 2. Применение первой производной 200
65. Теоремы Ролля и Лагранжа 200
66. Применения формулы Лагранжа к приближённым вычислениям 203
67. Поведение функции в интервале 205
68. Примеры 209
69. Одно свойство первообразной функции 215
§ 3. Применение второй производной 217
70. Второй достаточный признак экстремума 217
71. Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба 219
72. Примеры 223
§ 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений 225
73. Теорема Коши и правило Лопиталя 225
74. Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий 233
75. Общая схема исследования функций. Примеры 239
76. Решение уравнений. Понятие кратного корня 242
§ 5. Формула Тейлора и её применения 249
77. Формула Тейлора для многочленов 249
78. Формула Тейлора 251
79. Некоторые применения формулы Тейлора. Примеры 254
§ 6. Кривизна 261
80. Понятие кривизны 261
81. Радиус, центр и круг кривизны 264
82. Эволюта и эвольвента 267
83. Примеры 270
ГЛАВА V
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Понятие определённого интеграла 273
84. Площадь криволинейной трапеции 273
85. Примеры из физики 279
86. Определённый интеграл. Теорема существования 282
87. Вычисление определённого интеграла 287
§ 2. Основные свойства определённого интеграла 289
88. Простейшие свойства определённого интеграла 289
89. Изменение направления и разбиение интервала- интегрирования.
Геометрическая интерпретация интеграла 290
90. Оценка определённого интеграла 293
§ 3. Основные свойства определённого интеграла (продолжение).
Формула Ньютона-Лейбница 298
91. Теорема о среднем. Среднее значение функции 298
92. Производная от интеграла по верхнему пределу 301
93. Формула Ньютона-Лейбница 304
ГЛАВА VI
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Понятие неопределённого интеграла и неопределённое инте- грирование 308
94. Неопределённый интеграл. Основная таблица интегралов 308
95. Простейшие правила интегрирования 310
96. Примеры 312
§ 2. Основные методы интегрирования 316
97. Интегрирование по частям . 316
98. Замена переменной , 319
§ 3. Основные классы интегрируемых функций 323
99. Дробно-рациональные функции 323
100. Примеры 329
101. Метод Остроградского 333
102. Некоторые иррациональные функции 336
103. Тригонометрические функции 341
104. Рациональные функции 344
105. Общие замечания 347
ГЛАВА VII
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Способы вычисления интегралов 349
106. Определённое интегрирование по частям 349
107. Замена переменной в определённом интеграле 351
§ 2. Приближённые методы 356
108. Численное интегрирование 356
109. Графическое интегрирование 361
§ 3. Несобственные интегралы 364
110. Интеграл с бесконечными пределами 364
111. Признаки сходимости и расходимости интеграла с бесконечными пределами 367
112. Интеграл от функции с бесконечными разрывами 371
113. Признаки сходимости и расходимости интеграла от разрывной
функции 374
ГЛАВА VIII
ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
§ 1. Простейшие задачи и методы их решения 378
114. Метод «суммирования элементов» 378
115. Метод «дифференциального уравнения». Схема решения задач 380
116. Примеры 384
§ 2. Некоторые задачи геометрии и статики. Процессы органического роста 388
117. Площадь фигуры 388
118. Длина линии 391
119. Объём тела 395
120. Площадь поверхности вращения 400
121. Центр тяжести и теоремы Гюльдена 402
122. Процессы органического роста 408
ГЛАВА IX
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды 411
123. Понятие ряда. Сходимость 411
124. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки
сходимости 415
125. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость 421
126. Действия над рядами 424
§ 2. Функциональные ряды 426
127. Определения. Равномерная сходимость 426
128. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов 430
§ 3. Степенные ряды 433
129. Ряды Тейлора 433
130. Примеры 435
131. Интервал и радиус сходимости 438
132. Общие свойства степенных рядов 441
§ 4. Степенные ряды (продолжение) 444
133. Другой метод разложения функций в ряд Тейлора 444
134. Некоторые применения рядов Тейлора 449
135. Функции комплексной переменной. Формулы Эйлера 455
Предметный указатель 461
