Бермант, А. Ф., Курс математического анализа. - М;Л.: Гос.изд-во технико-теоретической лит-ры.- 443, 1951.
Творческая работа инженера в современной технике — и научная и производственная — требует квалифицированных математических знаний, а не только умения производить формальные математические операции. Более важно для инженера владеть сущностью понятий анализа, чтобы свободно пользоваться ими при решении задач техники. Поэтому преодоление формального, поверхностного изучения анализа является важнейшей и первоочерёдной задачей. Правильному решению этой задачи должно способствовать преподнесение курса по схеме: практика — основные понятия анализа — их свойства (теория) — способы вычислений — методы применения — практика. Эта схема даёт возможность ясно показать связь математики с практикой, вскрыть материальные источники основных понятий анализа и сделать отчётливыми принципы применения теории к конкретным проблемам.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА X
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Функции нескольких переменных 7
136. Понятие функции. Способы задания функций 7
137. Символика и классификация функций 9
138. Геометрическая интерпретация функций
§ 2. Простейшее изучение функции 15
139. Область определения функции. Понятие области 15
140. Предел 18
141. Непрерывность функций нескольких переменных. Точки разрыва 20
142. Некоторые свойства непрерывных функций. Элементарные функции 23
143. Поведение функции. Линии уровня 25
§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 28
144. Частные производные 28
145. Дифференциалы 31
146. Геометрическая интерпретация дифференциала 37
147. Применение дифференциала к приближённым вычислениям
148. Производная по направлению 42
149. Дифференцируемость функций двух независимых переменных 46
§ 4. Правила дифференцирования 48
150. Дифференцирование сложной функции 48
151. Неявные функции и их дифференцирование 52
152. Параметрически заданные функции и их дифферечцирование 56
§ 5. Повторное дифференцирование 59
153. Производные высших порядков 59
154. Дифференциалы высших порядков 64
ГЛАва XI
ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных 67
155. Формула и ряд Тейлора для функций нескольких перемсячых 67
156. Экстремумы. Необходимые условия 71
157. Задачи о наибольших и наименьших значениях 75
158. Достаточные условия экстремума 77
159. Условные экстремумы 81
§ 2. Элементы векторного анализа 86
160. Векторная функция скалярного аргумента. Дифференцирование 86
161. Градиент 93
§ 3. Линии. Поверхности 96
162. Плоские линии 96
163. Огибающая семейства плоских линий 98
164. Пространственные линии. Винтовая линия 105
165. Кривизна и кручение. Трёхгранник и формулы Френе 110
166. Поверхности
ГЛАВ А XII
МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Двойные и тройные интегралы 121
167. Задача об объёме. Двойной интеграл 121
168. Общее определение интеграла. Тройной интеграл 125
169. Основные свойства двойного и тройного интегралов 126
170. Основные свойства двойного и тройного интегралов (про-должение). Аддитивные функции области. Формула Ньютона-
Лейбница 130
§ 2. Кратное интегрирование 134
171. Вычисление двойного интеграла (прямоугольная область). 134
172. Вычисление двойного интеграла (произвольная область). 139
173. Вычисление тройного интеграла 145
§ 3. Интегралы в полярных, цилиндрических и сферических коор-динатах 149
174. Двойной интеграл в полярных координатах 149
175. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах 154
§ 4. Применения двойных и тройных интегралов 158
176. Схема решения задач 158
177. Некоторые задачи геометрии 161
178. Некоторые задачи статики 164
§ 5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра 168
179. Несобственные двойные и тройные интегралы 168
180. Интегралы, зависящие от параметра. Правило Лейбница. 173
Глава хш
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Криволинейные интегралы по длине 181
181. Задача о работе. Интеграл по длине линии 181
182. Свойства, вычисление и применение криволинейного интеграла по длине 183
Криволинейные интегралы по координатам 187
183. Криволинейный интеграл по координате 187
184. Составные криволинейные интегралы. Формула Грина 192
185. Независимость интеграла от контура интегрирования 196
186. Признак полного дифференциала. Другая формулировка основ-ной теоремы 200
187. Отыскание первообразной 205
188. Схема решения задач. Задачи гидродинамики и термодинамики 208
3. Интегралы по поверхности 213
189. Интеграл по площади поверхности и поверхностный интеграл по координатам 213
190. Составные поверхностные интегралы. Формула Стокса .... 219
191. Формула Остроградского 223
ГЛАВА XIV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Уравнения первого порядка 227
192. Уравнения с разделяющимися переменными 227
193. Общие понятия 232
194. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными 237
195. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий мно-житель 242
§ 2. Уравнения первого порядка (продолжение) 248
196. Поле направлений. Приближённые решения 248
197. Особые решения. Уравнения Клеро 253
198. Ортогональные и изогональные траектории 259
§ 3. Уравнения второго и высших порядков 262
199. Общие понятия 262
200. Частные случаи 264
201. Приближённые решения 269
§ 4. Линейные уравнения 272
202. Однородные уравнения 272
203. Неоднородные уравнения 280
§ 5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 284
204. Однородные уравнения 284
205. Неоднородные уравнения 290
206. Общая формула для решения неоднородного уравнения.. 294
207. Колебания. Резонанс 298
6. Дополнительные вопросы 304
208. Некоторые линейные уравнения, приводящиеся к уравнениям
с постоянными коэффициентами 304
209. Системы дифференциальных уравнений 306
ГЛАВА XV
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
5 1. Тригонометрические многочлены 310
210. Постановка вопроса 310
211. Коэффициенты Фурье и их свойства 312
§ 2. Ряды Фурье 318
212. Основные теоремы 318
213. Ряд Фурье в произвольном интервале. Неполные ряды 321
214. Примеры 324
215. Равномерная сходимость ряда Фурье. Сходимость «в среднем» 329
216. Теорема Парсеваля-Ляпунова 335
§ 3. Метод Крылова. Практический гармонический анализ 337
217. Порядок коэффициентов 337
218. Метод Крылова улучшения сходимости тригонометрических рядов 341
219. Примеры 343
220. Практический гармонический анализ. Шаблоны 349
Предметный указатель 354
