Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. - М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1969.
В книге дается сжатое изложение элементов теории аналитических функций как одного, так и нескольких переменных. Она может быть полезной для студентов, механико-математических факультетов, а также для лиц, которые, не будучи специалистами по теории функций, интересуются этим разделом математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................................8
Глава I. Комплексные числа...................................................9
§ 1. Введение комплексных чисел......................................9
1. Определение комплексных чисел и основные операции над ними.................9
2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Понятие модуля и аргумента комплексного числа..........10
3. Интерпретация Римана комплексных чисел. Понятие расширенной комплексной плоскости.........14
§ 2. Множества точек на расширенной комплексной плоскости 16
1. Некоторые основные понятия и элементарные утверждения ................ 16
2. Лемма Гейне — Бореля — Лебега..............................21
3. Принцип Больцано — Вейерштрасса..........................22
§ 3. Предел.......................................................23
1. Предел последовательности точек комплексной плоскости .............23
2. Понятие фундаментальной последовательности и критерий Коши.......................24
3. Общие замечания относительно содержательного смысла некоторых бесконечных процессов.......26
4. Числовые ряды......................................................28
Упражнения............................................................32
Глава II. Функции комплексного переменного..............................34
§ 1. Определение функции. Предел функции........................34
1. Комплексное переменное..........................................34
2. Функция комплексного переменного..........................34
3. Предел функции....................................................35
§ 2. Непрерывность функции комплексного переменного..........37
1. Непрерывность и равномерная непрерывность функции комплексного переменного.......37
2. Кривая Жордана....................... 40
3. Некоторые простейшие примеры функций комплексного переменного.................43
§ 3. Функциональные ряды.......... ............................44
1. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда........................44
2. Степенные ряды. Радиус сходимости..........................46
3. Основные арифметические операции над степенными рядами ....................51
4. Определение некоторых элементарных функций с помощью степенных рядов...............53
5. Вторая теорема Абеля............................................56
Упражнения............................. 59
Глава III. Аналитические функции комплексного переменного..... 61
§ 1. Понятие аналитической функции..................61
1. Моногенность. Условия Коши — Римана......................61
2. Определение аналитической функции........................63
3. Конформное отображение........................................66
§ 2. Обращение некоторых элементарных функций и понятие римановой поверхности..............71
1. Конформность отображения, осуществляемого однолистной аналитической функцией.......71
2. Дробно-линейная функция........................................72
3. Степенная функция................................................72
4. Экспоненциальная функция..............................74
5. Функция sin z..................................75
§ 3. Дробно-линейное отображение......................................78
1. Редукция невырожденного дробно-линейного отображения к отображениям простейшего вида......78
2. Симметрия относительно прямой и окружности............80
3. Основные свойства невырожденного дробно-линейного отображени...........................81
4. Понятие неподвижной точки и классификация невырожденных дробно-линейных отображений.........84
Упражнения............................................................87
Глава IV. Теория интеграла Коши................................................89
§ 1. Комплексное интегрирование........................................89
1. Определение интеграла и его основные свойства..........89
2. Интегральная формула Бореля — Помпею....................91
3. Лемма Гурса........................................................94
§ 2. Теория Коши ........................................................96
1. Теорема Коши......................................................96
2. Интегральная формула Коши..................101
3. Интеграл типа Коши.......................102
4. Понятие неопределенного интеграла и обращение теоремы Коши.....................104
5. Понятие гармонической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной части.....108
§ 3. Некоторые важнейшие утверждения, вытекающие из интегральной формулы Коши..........110
1. Принцип максимума модуля..................110
2. Лемма Шварца...........................112
3. Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций 113
4. Интегральные формулы Шварца и Пуассона. ....... 116
5. Об одном признаке сходимости к нулю последовательности аналитических функций.....118
§4. Интеграл в смысле главного значения по Коши.......119
1. Условие Гёльдера .......................119
2. Определение интеграла в смысле главного значения по Коши ......................120
3. Предельные значения интеграла типа Коши и формулы Сохоцкого — Племеля..........122
4. Задача Дирихле для гармонических функций в круге........124
Упражнения ...........................126
Глава V. Ряды Тейлора и Лорана. Элементы теории вычетов .... 129
§ 1. Ряд Тейлора..............................129
1. Теорема Тейлора .........................129
2. Единственность аналитической функции..........130
3. Нули аналитической функции.................131
4. Неравенства Коши и теорема Лиувилля..........132
§ 2. Ряд Лорана. Изолированные особые точки..........133
1. Теорема Лорана..........................133
2. Изолированные особые точки аналитической функции...... 136
3. Бесконечно удаленная изолированная особая точка ... 141
4. Понятия целой и мероморфной функций........................142
§ 3. Элементы теории вычетов.................... 144
1. Понятие вычета....................... . 144
2. Вычисление некоторых контурных интегралов......145
3. Принцип аргумента аналитической функции........147
4. Интегральная формула Коши для бесконечной области.....153
5. Разложение на простейшие дроби некоторых мероморфных функций............................153
6. Применение вычетов для вычисления некоторых определенных интегралов.....................155
Упражнения...........................158
Глава VI. Бесконечные произведения и элементы теории целых функций................................161
§ 1. Бесконечные произведения ....................161
1. Критерий сходимости бесконечного произведения .... 161
2. Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения.....163
3. Равномерно сходящиеся бесконечные произведения аналитических функций................164
§ 2. Элементы теории целых функций................165
1. Каноническое произведение и его род...........165
2. Представление целой функции в виде бесконечного произведения ....................169
3. Род целой функции.......................170
4. Представление мероморфной на комплексной плоскости функции в виде отношения двух целых функций........171
Упражнения..............................172
Глава VII. Основные принципы конформного отображения.......174
§ 1. Аналитическое продолжение ...................174
1. Понятие аналитического продолжения...........174
2. Теорема монодромии.......................175
3. Принцип непрерывности ....................176
4. Принцип симметрии Римана — Шварца...........177
5. Аналитическое продолжение действительной аналитической функции действительного переменного......178
6. Принцип Шварца.........................179
§ 2. Свойство единственности аналитических функций......180
1. Некоторые элементарные утверждения о единственности аналитических функций.........180
2. Лемма Карлемана и обобщение теоремы единственности 181
§ 3. Конформное отображение односвязных однолистных областей ........................183
1. Предварительные замечания..................183
2. Условия единственности конформно отображающей функции....................185
3. Формулировка теоремы Римана о конформном отображении и некоторые вспомогательные утверждения.. 186
4. Доказательство существования конформно отображающей функции.................189
5. Соответствие границ при конформном отображении... 192
6. Принцип взаимно однозначного соответствия. Формула Кристоффеля — Шварца ..............193
Упражнения.....................................195
Глава VIII. Функции многих переменных....................198
§ 1. Аналитические функции многих комплексных переменных 198
1. Некоторые обозначения и основные понятия........198
2. Кратные ряды с комплексными членами..........200
3. Степенные ряды с несколькими переменными.......201
4. Понятие аналитической функции многих комплексных переменных.............................202
5. Аналог теоремы Тейлора....................204
6. Аналитическое продолжение действительной аналитической функции действительных переменных.......206
7. Распространение гармонической функции для комплексных значений ее аргументов. Формула Гурса.......208
§ 2. Конформное отображение в многомерных евклидовых пространствах ........................209
1. Некоторые определения и обозначения...........209
2. Конформность отображения по Гауссу............210
3. Примеры конформного отображения.............211
4. Теорема Лиувилля.........................213
§ 3. Аналог системы Коши — Римана в трехмерном евклидовом пространстве ................216
1. Области с гладкой и кусочно-гладкой границей......216
2. Некоторые интегральные равенства, вытекающие из формулы Гаусса — Остроградского..............218
3. Трехмерный аналог системы Коши — Римана.......220
4. Аналог интеграла в смысле главного значения по Коши 223
5. Аналоги формул Сохоцкого — Племеля....... . . . 225
6. Гармонические функции.....................226
7. Признак сходимости последовательности градиентов гармонических функций............229
Упражнения..............................231
Указатель..................................234
