Боровков А.А. Теория вероятностей. - 3-е изд., сущ. перераб и доп. - М:, 1999. — 472 с.
Книга охватывает широкий круг вопросов, начиная с оснований теории вероятностей и заканчивая основными элементами теории случайных процессов. Сюда входят: достаточно полный аппарат современной теории вероятностей; разного рода предельные законы для сумм независимых случайных величин; теоремы о поведении траекторий, порожденных этими суммами, включая относящиеся сюда так называемые факторизационные тождества; элементы теории восстановления и различные ее приложения; цепи Маркова и эргодические теоремы для них; элементы теории информации; теория мартингалов и стохастически рекурсивных последовательностей; основы теории случайных процессов; теоремы об основных свойствах винеровских и пуассоновских процессов; функциональные предельные теоремы; элементы теории марковских, стационарных и гауссовских процессов и др.
Содержание
Предисловие......................................................................................7
Введение..........................................................................................10
Глава 1. Дискретное пространство элементарных событий..................................13
§1. Вероятностное пространство........................................................13
§2. Классическая схема..................................................................15
§3. Схема Бернулли ......................................................................18
§ 4. Вероятность объединения событий. Примеры....................................20
Глава 2. Произвольное пространство элементарных событий................................23
§ 1. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство..................23
§ 2. Свойства вероятности................................................................29
§ 3. Условная вероятность. Независимость событий и испытаний..................30
§ 4. Формула полной вероятности и формула Байеса ................................32
Глава 3. Случайные величины и функции распределения....................................37
§ 1. Определения и примеры..............................................................37
§ 2. Свойства функций распределения и примеры....................................39
§ 3. Многомерные случайные величины................................................47
§ 4. Независимость случайных величин и классов событий..........................50
§ 5*. О бесконечных последовательностях случайных величин........................57
§6. Интегралы..............................................................................57
Глава 4. Числовые характеристики случайных величин......................................64
§ 1. Математическое ожидание..........................................................64
§ 2. Условные функции распределения и условные математические ожидания . . 68
§ 3. Математические ожидания функций независимых случайных величин .... 72
§4. Математическое ожидание случайных величин, не зависящих от будущего . 72
§5. Дисперсия..............................................................................76
§ 6. Коэффициент корреляции и другие числовые характеристики..................78
§7. Неравенства............................................................................80
§ 8. Обобщение понятия условного математического ожидания....................82
§ 9. Условные распределения............................................................89
Глава 5. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами..................96
§ 1. Законы больших чисел ..............................................................96
§ 2. Локальная предельная теорема......................................................97
§3. Теорема Муавра—Лапласа и ее уточнения........................................102
§4. Теорема Пуассона и ее уточнения..................................................104
§5. Неравенства для вероятностей больших уклонений в схеме Бернулли .... 111
Глава 6. О сходимости случайных величин и распределений...............................114
§1. Сходимость случайных величин....................................................114
§2. Сходимость распределений..........................................................123
§3. Условия слабой сходимости............................. 126
Глава 7. Характеристические функции........................................................130
§ 1. Определение и свойства характеристических функций..........................130
§2. Формула обращения..................................................................135
§3. Теорема непрерывности (сходимости)..............................................137
§ 4*. Другой подход к доказательству теорем сходимости
к известному распределению........................................................138
§5. Применение характеристических функций в теореме Пуассона................141
§ 6. Характеристические функции многомерных распределений.
Многомерное нормальное распределение..........................................143
§7. Другие применения х.ф. Свойства гамма-распределения........................146
§8. Производящие функции.
Применение к изучению ветвящегося процесса. Задача о вырождении .... 151
Глава 8. Последовательности независимых случайных величин. Предельные теоремы . 155
§ 1. Закон больших чисел ................................................................155
§ 2. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных
случайных величин....................................................................156
§3. Закон больших чисел для произвольных независимых случайных величин . 157
§ 4. Центральная предельная теорема для сумм
произвольных независимых случайных величин..................................164
§5. Другой подход к доказательству предельных теорем. Оценки погрешности . 171
§6. Локальная предельная теорема......................................................174
§ 7. Закон больших чисел и центральная предельная теорема
в многомерном случае................................................................177
§8*. Вероятности больших уклонений ..................................................179
§9*. Сходимость к другим устойчивым законам........................................187
Глава 9. Элементы теории восстановления....................................................195
§1. Процессы восстановления, функции восстановления............................195
§2. Основная теорема восстановления в решетчатом случае........................199
§ 3. Эксцесс и дефект случайного блуждания.
Предельное распределение в решетчатом случае..................................204
§ 4. Теорема восстановления и предельное распределение эксцесса и дефекта
в нерешетчатом случае................................................................206
§ 5. Закон больших чисел и центральная предельная теорема
для процесса восстановления........................................................210
Глава 10. Последовательности независимых случайных величин.
Свойства траектории (0,S1,S2,...) в целом........................................213
§ 1. Законы нуля и единицы. Верхние и нижние функции..........................213
§2. Сходимость рядов независимых случайных величин ............................217
§3. Усиленный закон больших чисел ..................................................219
§ 4. Усиленный закон больших чисел для произвольных независимых слагаемых 223
Глава 11. Факторизационные тождества......................................................225
§ 1. Факторизационные тождества и их первые следствия............................225
§2. Факторизационные тождества». Свойства траектории ............230
§3. Распределение S = mах(0, С) ..............................................233
§4. Системы обслуживания..............................................................234
§ 5. Факторизационные тождества для распределений,
связанных с показательной функцией..............................................235
§ 6. Симметричные непрерывно распределенные случайные величины............237
§ 7. Тождество Поллачека—Спитцера....................................................238
§8*. Явные формулы для дискретных блужданий, непрерывных сверху............240
Глава 12. Последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова....................24
§ 1. Счетные цепи Маркова. Определения и примеры.
Классификация состояний..........................................................245
§2. Необходимые и достаточные условия возвратности состояний. Теорема об однотипности состояний неразложимой цепи,
структура цепи в периодическом случае............................................249
§ 3. Теоремы о случайных блужданиях по решетке....................................252
§ 4. Эргодические теоремы................................................................257
§5*. Поведение переходных вероятностей для разложимых цепей ..................264
§6. Цепи Маркова с произвольным множеством состояний.
Эргодичность цепей, имеющих положительный атом............................265
§7*. Эргодичность харрисовых цепей Маркова........................................272
Глава 13. Информация и энтропия ............................................................284
§ 1. Определения, свойства информации и энтропии................................284
§ 2. Энтропия конечной цепи Маркова.
Теорема об асимптотическом поведении информации длинного сообщения,
ее приложения........................................................................288
Глава 14. Мартингалы..........................................................................292
§1. Определения, простейшие свойства, примеры....................................292
§ 2. О сохранении свойства быть мартингалом при замене времени
на случайное. Тождество Вальда....................................................296
§3. Неравенства............................................................................308
§4. Теоремы сходимости..................................................................312
§5. Ограниченность моментов стохастических последовательностей ..............316
Глава 15. Стационарные (в узком смысле) последовательности............................321
§1. Основные понятия....................................................................321
§2. Свойства эргодичности (метрической транзитивности),
перемешивания и слабой зависимости ............................................325
§ 3. Эргодическая теорема................................................................328
Глава 16. Стохастически рекурсивные последовательности..................................332
§1. Основные понятия....................................................................332
§ 2. Эргодичность при наличии обновляющих событий.
Условия ограниченности............................................................333
§3. Условия эргодичности, связанные с монотонностью /..........................339
§4. Условия эргодичности для сжимающих в среднем преобразований,
удовлетворяющих условию Липшица..............................................340
Глава 17. Случайные процессы с непрерывным временем....................................347
§ 1. Общие определения..................................................................347
§2. Условия регулярности процессов....................................................351
Глава 18. Процессы с независимыми приращениями ........................................357
§1. Общие свойства ......................................................................357
§ 2. Винеровские процессы, свойства траекторий......................................359
§3. Законы повторного логарифма......................................................360
§ 4. Пуассоновские процессы............................................................364
§ 5. Описание распределений всего класса процессов
с независимыми приращениями....................................................367
Глава 19. Функциональные предельные теоремы..............................................371
§1. Сходимость к винеровскому процессу (принцип инвариантности)............371
§ 2. Закон повторного логарифма........................................................378
§3. Сходимость к пуассоновскому процессу ..........................................381
Глава 20. Марковские процессы................................................................385
§ 1. Определения и общие свойства......................................................385
§2. Марковские процессы со счетным множеством состояний. Примеры .... 388
§3. Ветвящиеся процессы................................................................394
§4. Полумарковские и регенерирующие процессы....................................397
§5. Диффузионные процессы............................................................404
Глава 21. Процессы с конечными моментами второго порядка, гауссовские процессы 410
§ 1. Процессы с конечными моментами второго порядка............................410
§2. Гауссовские процессы................................................................413
§3. Задача о прогнозе ....................................................................414
Приложения......................................................................................417
Приложение 1. Теорема о продолжении вероятностной меры..............................419
Приложение 2. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях..................424
Приложение 3. Интегрирование..............................................................426
§ 1. Пространство с мерой................................................................426
§ 2. Интеграл по вероятностной мере....................................................427
§ 3. Дальнейшие свойства интегралов.......-....................................430
§ 4. Интеграл по произвольной мере....................................................434
§5. Теорема Лебега о разложении и теорема Радона—Никодима....................437
§ 6. Слабая сходимость и сходимость по вариации распределений
в произвольных пространствах......................................................441
Приложение 4. Теоремы Хелли и Арцела—Асколи..........................................447
Приложение 5. Доказательство теоремы Берри—Эссена..................................449
Приложение 6. Теоремы восстановления....................................................453
Приложение 7. Таблицы......................................................................460
Список литературы..............................................................................465
Предметный указатель..........................................................................467
