Босс В. Лекции по математике. Том 5: Функциональный анализ

Босс В. Лекции по математике. Том 5: Функциональный анализ. — М., 2005. - 216 с.
Охват материала соответствует курсам функционального анализа, изучаемым в университетах. Помимо функциональных пространств и линейных отображений рассматриваются также: теория меры, интеграл Лебега, элементы нелинейного анализа, положительные операторы. Изложение отличается краткостью и прозрачностью. Объяснения даются «человеческим языком». Значительное внимание уделяется мотивации результатов, взаимосвязям, общей картине.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.
Оглавление
Предисловие к «Лекциям»....................................................7
Предисловие к тому............................................................9
Глава 1. Множества, пространства, отображения..........10
1.1. Операции и соответствия........................................10
1.2. Аксиома выбора....................................................12
1.3. Неравенства..........................................................13
1.4. Метрические пространства......................................14
1.5. Линейные пространства..........................................15
1.6. Непрерывные преобразования................................19
1.7. Выпуклость.............................22
1.8. Предварительные «неприятности»..............23
Глава 2. Метрические и нормированные пространства.......25
2.1. Метрическая идеология.....................25
2.2. Открытые и замкнутые множества .............27
2.3. Сходимость.............................30
2.4. Пополнение.............................33
2.5. Категории Бэра..........................36
2.6. Банаховы и гильбертовы пространства...........37
2.7. Фактор-пространство......................40
2.8. Аномальные эффекты......................41
Глава 3. Теория меры.............................43
3.1. Мера Лебега.............................43
3.2. О подоплеке.............................47
3.3. Измеримые функции.......................48
3.4. Интеграл Лебега..........................51
3.5. Пространства L1 и L .....................55
3.6. Ассортимент сходимостей...................56
3.7. Предельный переход под интегралом............58
3.8. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега......60
3.9. Конструкция Стилтьеса.....................63
3.10. Произведение мер, теорема Фубини............64
3.11. Задачи и дополнения.......................65
Глава 4. Компактность............................68
4.1. Компактные множества.....................68
4.2. Критерии компактности в С и Lp..............72
4.3. Инструменты и свойства....................74
Глава 5. Топологический ракурс......................78
5.1. Топологические пространства.................78
5.2. Линейные пространства.....................82
5.3. Слабая топология.........................83
5.4. Задачи и дополнения.......................84
Глава 6. Линейные операторы в нормированных пространствах.............87
6.1. Основные понятия........................87
6.2. Теорема Хана—Банаха......................90
6.3. Сопряженное пространство..................92
6.4. Слабая сходимость........................95
6.5. Слабая компактность ......................97
6.6. Идеальная выпуклость......................99
6.7. Принцип равномерной ограниченности..........101
6.8. Принцип открытости отображения.............102
6.9. Замкнутые операторы......................103
6.10. Обратные операторы.......................104
6.11. Вполне непрерывные операторы...............106
6.12. Проекторы..............................109
6.13. Дополнение.............................110
Глава 7. Операторы в гильбертовых пространствах.........112
7.1. Преамбула..............................112
7.2. Ортонормированный базис ..................114
7.3. Ортогональные ряды.......................116
7.4. Сопряженные операторы....................119
7.5. Задачи и дополнения.......................121
Глава 8. Обобщенные функции.......................123
8.1. Основные понятия........................123
8.2. Дифференцирование.......................128
8.3. Свертка обобщенных функций................129
8.4. Дифференциальные уравнения................130
8.5. Расходящиеся ряды........................131
Глава 9. Уравнения..............................133
9.1. Линейные уравнения.......................133
9.2. Выбор пространства.......................134
9.3. «Фредгольмовы» уравнения..................135
9.4. Последовательные итерации..................139
9.5. Проекционные методы.....................140
9.6. Регуляризация...........................141
9.7. Дополнение.............................142
Глава 10. Спектральная теория......................144
10.1. Ориентировка ...........................144
10.2. Общая постановка........................146
10.3. Спектральный радиус......................149
10.4. Компактные операторы.....................151
10.5. Самосопряженные операторы.................152
10.6. Операторные функции .....................154
Глава 11. Элементы нелинейного анализа................157
11.1. Нелинейные операторы.....................157
11.2. Производные и дифференциалы...............157
11.3. Градиент функционала......................160
11.4. Принцип сжимающих отображений.............161
11.5. Теорема о неявной функции..................163
11.6. Принцип Шаудера........................164
11.7. Собственные векторы......................165
Глава 12. Положительные операторы ..................167
12.1. Конусы в банаховых пространствах.............167
12.2. Положительные операторы ..................170
12.3. Оценки спектрального радиуса................172
12.4. Позитивный спектр........................174
12.5. Неподвижные точки.......................178
12.6. Принцип Биркгофа—Тарского................179
12.7. Задачи и дополнения.......................180
Глава 13. Сводка определений и результатов..............182
13.1. Метрические и нормированные пространства......182
13.2. Интеграл и мера Лебега.....................185
13.3. Компактность и топология...................188
13.4. Линейные операторы и функционалы...........190
13.5. Обобщенные функции......................195
13.6. Линейные уравнения.......................196
13.7. Спектральные свойства.....................197
13.8. Элементы нелинейного анализа...............199
13.9. Положительные операторы ..................201
13.10. Пространства............................202
Сокращения и обозначения .........................205
Литература....................................207
Предметный указатель............................209

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗