Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс

Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. — М.-Ижевск, 2009. — 724 с. Книга содержит стандартный университетский курс действительного и функционального анализа, рассчитанный на три семестра и включающий весь дополнительный материал по функциональному анализу и теории функций действительного переменного, входящий в программу кандидатского минимума по специальности «Математический анализ». Кроме того, в нескольких десятках разделов, набранных более мелким шрифтом, представлена обширная коллекция ярких и интересных фактов из разных разделов теории функций и функционального анализа — как классических, так и современных. Все основные результаты и понятия проиллюстрированы большим числом примеров. Имеется более 500 упражнений. По всем разделам даны библиографические указания, призванные помочь дальнейшему профессиональному совершенствованию читателя в теории функций и функциональном анализе и познакомить его с последними достижениями.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов физико-математических, инженерно-математических и экономических специальностей, а также на широкий круг научных работников в теоретических и прикладных областях математики.
Оглавление
Предисловие 9
Глава 1. Метрические и топологические пространства 13
1.1. Элементы теории множеств 13
1.2. Метрические пространства 17
1.3. Непрерывные отображения 25
1.4. Принцип сжимающих отображений 28
1.5. Теорема Бэра о категории 31
1.6. Топологические пространства 33
1.7. Компактные множества и их свойства 38
1.8. Критерии компактности 43
1.9. Дополнения и задачи 46 Направленности в топологических пространствах (46). Теорема Тихонова (49). Счетная и секвенциальная компактность (50). Функциональная отделимость множеств (53). Теорема Стоуна-Вейерштрасса (59). Канторовское множество (62). Задачи (63).
Глава 2. Основы теории меры 69
2.1. Вводные замечания 69
2.2. Алгебры и сигма-алгебры 71
2.3. Аддитивность и счетная аддитивность 78
2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 85
2.5. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса 95
2.6. Знакопеременные меры 103
2.7. Дополнения и задачи 106
Измеримость Каратеодори и продолжения мер (106). Задачи (111).
Глава 3. Интеграл Лебега 115
3.1. Измеримые функций 115
3.2. Сходимость по мере и почти всюду 122
3.3. Конструкция интеграла Лебега 128
3.4. Предельный переход под знаком интеграла 135
3.5. Пространство L1 140
3.6. Признаки интегрируемости 142
3.7. Связь с интегралом Римана 145
3.8. Неравенства Гёльдера и Минковского 147
3.9. Теорема Радона-Никодима 151
3.10. Произведение пространств с мерами 155
3.11. Теорема Фубини 158
3.12. Дополнения и задачи 166
Критерий интегрируемости по Риману (166). Образ меры при отображении (167). Равномерная интегрируемость (169). Лифтинги (173). Задачи (174).
Глава 4. Связь интеграла и производной 179
4.1. Дифференцируемые функции 179
4.2. Функции ограниченной вариации 182
4.3. Абсолютно непрерывные функции 188
4.4. Формула Ньютона-Лейбница 193
4.5. Дополнения и задачи 198
Интегрирование по частям в интеграле Стилтьеса (198). Сходимость рядов Фурье (199). Задачи (209).
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства 211
5.1. Нормированные пространства 211
5.2. Примеры 216
5.3. Шары в нормированных пространствах 219
5.4. Ортонорміфованньїе системы, базисы и проекции 221
5.5. Выпуклые множества и теорема Шаудера 229
5.6. Дополнения и задачи 234
Шары и эллипсоиды (234). Теоремы Кадеца и Милютина (235). Упорядоченные векторные пространства и векторные решетки (236). Задачи (239).
Глава 6. Линейные операторы и функционалы 245
6.1. Норма и непрерывность оператора 245
6.2. Теорема о замкнутом графике 253
6.3. Теорема Хана-Банаха 258
6.4. Применения теоремы Хана-Банаха 264
6.5. Сопряженные к конкретным пространствам 270
6.6. Слабая и *-слабая топологии 277
6.7. Компактность в *-слабой топологии 283
6.8. Сопряженные и самосопряженные операторы 287
6.9. Компактные операторы 292
6.10. Дополнения и задачи 299
Образы операторов и факторизация (299). Слабая компактность в банаховых пространствах (302). Свойство Банаха-Сакса и равномерная выпуклость (312). Базисы, аппроксимации и дополнения (314). Операторы на упорядоченных векторных пространствах (321). Векторное интегрирование (328). Интеграл Даниэля (332). Интерполяционные теоремы (339). Задачи (340).
Глава 7. Спектральная теория 355
7.1. Спектр оператора 355
7.2. Квадратичная форма и спектр самосопряженного оператора 362
7.3. Спектр компактного оператора 366
7.4. Альтернатива Фредгольма 368
7.5. Теорема Гильберта-Шмидта 374
7.6. Унитарные операторы 377
7.7. Непрерывные функции от самосопряженных операторов 380
7.8. Функциональная модель 385
7.9. Проекторы и проекторнозначные меры 393
7.10. Дополнения и задачи 400
Структура спектра (400). Коммутирующие самосопряженные операторы (403). Образы операторов в гильбертовом пространстве (408). Операторы Гильберта-Шмидта и ядерные операторы (412). Интегральные операторы и теорема Мерсера (427). Тензорные произведения (430). ФредгоЛьмовы операторы (431). Векторная форма спектральной теоремы (435). Инвариантные подпространства (437). Задачи (438).
Глава 8. Локально выпуклые пространства и обобщенные функции 447
8.1. Локально выпуклые пространства 447
8.2. Линейные отображения 454
8.3. Отделение выпуклых множеств 459
8.4. Обобщенные функции 465
8.5. Производная обобщенной функции 469
8.6. Дополнения и задачи 473
Метризуемость и нормируемость (473). Топология Макки (476). Индуктивные и проективные пределы (479). Бочечные и борнсшогические пространства (480). Банаховы пространства, порожденные функционалами Минковского (481). Теорема Крейна-Мильмана (488). Теорема об измеримом графике (490). Задачи (490).
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева 495
9.1. Преобразование Фурье в L1 495
9.2. Преобразование Фурье в L2 502
9.3. Преобразование Фурье в S' 504
9.4. Свертка 507
9.5. Спектр преобразования Фурье и свертки 511
9.6. Преобразование Лапласа 514
9.7. Применения к дифференциальным уравнениям 516
9.8. Пространства Соболева W2k 521
9.9. Описание W2k через преобразование Фурье 526
9.10. Дополнения и задачи 527
Сингулярные интегралы (527). Теоремы вложения (531). Теоремы Бохнера и Пэли-Винера (534). Задачи (535).
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп 539
10.1. Графики и сопряженные 539
10.2. Симметричные и самосопряженные операторы 545
10.3. Спектральная теорема 549
10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов 552
10.5. Полугруппы операторов 561
10.6. Генераторы полугрупп 568
10.7. Дополнения и задачи 575
Расширения симметричных операторов (575). Полуограниченные формы и операторы (582). Теоремы Чернова и Троттера (586). Математическая модель квантовой механики (588). Задачи (596).
Глава 11. Банаховы алгебры 599
11.1. Основные определения 599
11.2. Идеалы 605
11.3. Спектры 607
11.4. Функциональное исчисление 613
11.5. Коммутативные банаховы алгебры 616
11.6. Структура С-алгебр 623
11.7. Дополнения и задачи 628
Алгебры фон Неймана (630). Задачи (631).
Глава 12. Бесконечномерный анализ 633
12.1. Дифференцируемость и производные 633
12.2. Свойства дифференцируемых отображений 641
12.3. Обратные и неявные функции 647
12.4. Производные высших порядков 654
12.5. Дополнения и задачи 658
Метод Ньютона (658). Полилинейные отображения (659). Субдифференциалы и монотонные отображения (663). Приближения в банаховых пространствах (665). Накрывающие отображения (666). Задачи (668).
Комментарии 671
Литература 685
Предметный указатель 711

Книга удалена из свободного доступа по требованию правообладателя