Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ

Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. - М., 1980. -384 с.
В предлагаемой книге излагаются элементы функционального анализа и некоторые его приложения к задачам, возникающим при управлении и оптимизации. В настоящее время в математике довольно отчетливо проявляется тенденция к проблемам, так или иначе связанным с приложениями; с другой стороны, значительно усложнились математические модели, описывающие процессы в экономике и естествознании. Эти тенденции, безусловно, связаны с развитием и расширением возможностей вычислительных машин. Настоящая книга отражает эти тенденции н носит вводный характер. Рассматриваемые здесь вопросы функционального анализа весьма существенны для подготовки высококвалифицированных специалистов как в области теории систем, так и в области математической экономики. В настоящее время имеется ряд превосходных курсов функционального анализа. Тем не менее, обширность предлагаемого материала порождает ряд трудностей для желающих ознакомится с предметом с точки зрения его приложений. Далее, применение ряда результатов функционального анализа к конкретным проблемам связано со значительными усилиями ввиду их высокого уровня общности. Эти обстоятельства побудили меня ограничиться рассмотрением лишь гильбертовых пространств и довольно детально рассмотреть такне специальные темы как вольтерровы операторы, операторы Гильберта — Шмидта, днссипативные компактные полугруппы и теоремы факторизации для положительно определенных линейных операторов. При этом с целью сохранения разумного объема книги мы ограничились лишь теми разделами функционального анализа, которые имеют первостепенное значение для приложений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......... .............б
Глава 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 7
1.0. Введение........ .........7
1.1 Основные определения .... . . .8
1.2. Примеры гильбертовых пространств........... . 12
1.3. Операции над гильбертовыми пространствами...... . 13
1.4. Выпуклые множества и проекции ... 16
1.5. Ортогональность и ортонормированные базисы . .... 23
1.6. Линейные непрерывные функционалы ........ 29
1.7. Теорема Рисса о представлении................... 30
1.8. Слабая сходимость........................... 36
1.9. Нелинейные функционалы н обобщенные кривые .... 45
1.10. Теорема Хана — Банаха . ........53
Глава 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ........................... . 54
2.0. Введение............... 54
2.1. Элементарные понятня..............64
2.2. Опорный функционал выпуклого множества . . . ... 56
2.3. Функционал Минковского ..........59
2.4. Опорное отображение........... .. . 63
2.5. Теорема отделимости....... ........... 64
2.6. Приложение к выпуклому программированию.......68
2.7. Обобщение на случай бесконечного множества ограничении .....71
2.8 Основной результат теории игр: теорема о миннмаксе ....... 74
2.9 Приложение: теорема Фаркаша .... . 79
Глава 3. ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ОПЕРАТОРЫ . ...... 83
3.0. Введение...................... . 83
3.1. Линейные операторы и их сопряженные . . 84
3.2. Спектральная теория операторов............86
3.3. Спектральная теория компактных операторов ......49
3.4. Операторы на сепарабельных гильбертовых пространствах . . 127
3.5. Z-a-пространства над гильбертовыми пространствами . . .172
3.6. Полилинейные формы ...... ... .188
Глава 4. ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ . . 207
4.0. Введение........................207
4.1. Определения и основные свойства полугрупп.......208
4.2. Построение полугруппы по ее инфинитезимальному производящему оператору..................216
4.3. Полугруппы над гильбертовыми пространствами. Диссипативные полугруппы.....................219
4.4. Компактные операторы..................222
4.5. Аналитические полугруппы...............230
4.6. Элементарные гримеры полугрупп..... . 235
4.7. Расширения операторов .....245
4.8 Дифференциальные уравнения: задача Коши.....253
4.9. Управляемость .....260
4.10. Приведение пространства состояний. Наблюдаемость.......264
4.11. Граничное управление: Пример . ..... 269
4.15. Эволюционные уравнения .....276
Глава 5 ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.......
5.1. Предварительные сведения...............284
5.2. Проблема линейного квадрагичесюто регулятора ..... 288
5.3. Проблема линейного квадратического регулятора в случае бесконечного интервала времени.........292
5.4. Жесткие ограничения...............298
5.5. Финальное управление . . ..........303
5.6. Задача оптимального быстродействия......308
Глава 6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ..................314
6.1. Предварительные сведения............315
6.2. Меры на цилиндрических множествах.....318
6.3 Характеристические функции и свойство счетной аддитивное ....329
6.4. Случайные величины в слабом смысле .......330
6.5 Случайные величины..............338
6.6. Белый шум ........340
6.7. Дифференциальные системы .....341
6.8. Задача фильтрации..... ......345
6.9 Стохастическое управление ...........351
6.10. Стохастические интегралы .......356
6.11. Произвольные Радона - Никодима ........ 356
Литература .......380
Предметный указатель .......380