Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения

Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. - Минск: Вышэйшая школа, 1984. – 351 с.
Настоящее пособие написано для студентов математических специальностей университетов. При его создании ставилась цель отобрать материал, который может быть достаточно подробно изложен на время, отведённое учебным планом на курс "Функциональный анализ и интегральные уравнения", и отражает как основные идеи и методы функционального анализа, так и их многообразные приложения к теории интегральных уравнений.
В пособии изложены основы теории меры и интеграла Лебега, метрических и нормированных пространств и операторов в них, основные принципы линейного функционального анализа, основы теории обобщённых функций и топологических векторных пространств.
Значительное место в пособии отведено приложениям общих методов функционального анализа к интегральным уравнениям. Эти приложения не выделены в отдельную главу, а распределены по книге и носят характер иллюстраций и следствий общих утверждений, что позволяет демонстрировать плодотворность методов функционального анализа.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов ..........................3
Глава I. Теория меры....................5
§ 1. Предварительные сведения................5
§ 2. Кольца и полукольца множеств......10
§ 3. Общее понятие меры..........14
§ 4. Лебеговское продолжение меры.......23
§ 5. Мера Лебега на прямой.........30
§ 6. Мера Лебега—Стилтьеса.........35
Глава II. Интеграл Лебега.........(4^)
§ 7. Измеримые функции..........40
§ 8. Интеграл Лебега. Определение и основные свойства . 44
§ 9. Предельный переход под знаком интеграла ... 53
§ 10. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана .... 61
§ 11. Заряды.............64
§ 12. Теорема Радона—Никодима.......69
§ 13. Произведение мер. Теорема Фубини.....73
Глава III. Метрические пространства......
§ 14. Метрические пространства. Определения и примеры . 79
§ 15. Топология метрических пространств.....86
§ 16. Полные метрические пространства.....91
§ 17. Пополнение метрических пространств.....97
§ 18. Теоремы о продолжении........100
§ 19. Пространство L1.........104
§ 20. Пространство LP.........109
§ 21. Принцип сжимающих отображений......114
§ 22. Применение принцнгга сжимающих отображений к интегральным уравнениям..........118
§ 23. Компактные метрические пространства.....124
§ 24. Свойства компактных пространств.....130
Глава IV. Нормированные векторные пространства .....133
§ 26. Нормированные пространства.......136
§ 26. Банаховы пространства.........142
§ 27. Линейные операторы в нормированных пространствах 149
§ 28. Критерий конечномерности нормированного пространства. Эквивалентные нормы..........157
§ 29. Гильбертовы пространства........161
§ 30. Ортогональность. Теорема о проекции.....165
§ 31. Разложение по ортонормированным системам в гильбертовом пространстве ........................170
§ 32. Полные ортонормированные системы в конкретных пространствах ...............176
Глава V. Линейные операторы........
§ 33. Пространства линейных ограниченных операторов . . 179
§ 34. Сильная сходимость последовательности операторов. Теорема Банаха—Штейнгауза.........184
§ 35. Обратные операторы..........188
§ 36. Теорема Банаха об обратном операторе и ее следствия.......193
§ 37. Интегральные уравнения с вырожденными и малыми ядрами...............197
§ 38. Преобразование Фурье функций из пространства ii(R) 201
§ 39. Преобразование Фурье в пространстве L2(R) .......207
Глава VI. Сопряженные пространства и сопряженные операторы.................210
§ 40. Линейные ограниченные функционалы.....2І0
§ 41. Теорема Хана—Банаха о продолжении линейного функционала ...............214
§ 42. Общий вид линейных ограниченных функционалов в конкретных пространствах ..........221
§ 43. Сопряженные операторы.........230
§ 44. Примеры сопряженных операторов......233
§ 45. Спектр оператора.......... . 238
§ 46. Слабая сходимость. Рефлексивность......242
Глава VII. Уравнения с компактными операторами ......245
§ 47. Компактные операторы и их свойства.....
§ 48. Компактность интегральных операторов.....249
§ 49. Теория Рисса—Шаудера уравнений с компактными операторами. Фредгольмовы операторы.......253
§ 50. Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений. Интегральные уравнения Фредгольма 2-го рода .... 259
§ 51. Сопряженные операторы в гильбертовом пространстве 2G4
§ 52. Спектральное разложение самосопряженного компактного оператора..............269
Глава VIII. Обобщенные функции.......273
§ 53. Топологические векторные пространства .... 277
§ 54. Пространства основных и обобщенных функций . . . 282
§ 55. Действия с обобщенными функциями.....288
§ 56. Пространство обобщенных функций медленного роста. Преобразование Фурье...........296
Глава IX. Локально выпуклые топологические векторные пространства..............З00
§ 57. Полунормы И локально выпуклые топологии ........ 300
§ 58. Линейные непрерывные операторы и функционалы. Ограниченные множества..........306
§ 59. Сопряженное пространство и связанные с ним топологии 313
§ 60. Полнота. Индуктивные пределы.......318
§ 61. Локально выпуклые пространства функциоиального анализа...............322
Приложение. Топологические пространства .... 326
§ 1. Открытые множества, окрестности......326
§ 2. Непрерывные отображения........330
§ 3. Подпространства. Фактор-пространства.....331
§ 4. Произведение топологических пространств .... 332
§ 5. Сходящиеся направленности........333
§ 6. Отделимые пространства.........335
§ 7. Компактные пространства.........336
Литература.............340
Предметный указатель........343