Будак Б.М. и др. Сборник задач по математической физике

Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике (3-е изд.). - М.: Наука, 1979.
Настоящий задачник возник на основе практических занятий но уравнениям математической физики на физическом факультете и заочном секторе МГУ. Задачи, предлагавшиеся на этих занятиях, были использованы в курсе «Уравнений математической физики» А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [7] и в стеклографированном «Сборнике задач по математической физике» Б. М. Будака [12]. Однако при составлении настоящего задачника круг рассматриваемых вопросов был значительно расширен, а число задач в несколько раз увеличено. Большое внимание уделено задачам на вывод уравнений и граничных условий. Значительное число задач снабжено подробными указаниями и решениями. Задачи, близкие по характеру, снабжены лишь ответами. В главах проведена разбивка на параграфы по методам решения. Все это направлено к тому, чтобы дать возможность учащимся путем самостоятельной проработки достигнуть элементарных технических навыков в решении задач по основным разделам уравнений математической физики.
Содержание
(Номера страниц, относящиеся к ответам и решениям, даны курсивом) Предисловие к первому изданию 7
Предисловие к третьему изданию 8
Глава I. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка 9
§ 1. Уравнение для функции двух независимых переменных 9
1. Уравнение с переменными коэффициентами (9, 144). 2. Уравнение с постоянными коэффициентами (10,148).
§ 2. Уравнение с постоянными коэффициентами для функции n независимых переменных 10
Глава II. Уравнения гиперболического типа 12
§ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; 12 постановка краевых задач
1. Свободные колебания в среде без сопротивления; уравнения с постоянными коэффициентами (13,152). 2. Вынужденные колебания и колебания в среде с сопротивлением; уравнения с постоянными коэффициентами (16,165). 3. Задачи о колебаниях, приводящие к уравнениям с непрерывными переменными коэффициентами (17,167). 4. Задачи, приводящие к уравнениям с разрывными коэффициентами, и родственные им (кусочно-однородные среды, сосредоточенные факторы) (18,168). 5. Подобие краевых задач (22, 178).
§ 2. Метод распространяющихся волн (метод Дапамбера) 23
1. Задачи для бесконечной струны (24,184). 2. Задачи для полупрямой (26,191). 3. Задачи для бесконечной прямой, составленной из двух однородных полупрямых. Сосредоточенные факторы (30, 205). 4. Задачи для конечного отрезка (31, 208).
§ 3. Метод разделения переменных 32
1. Свободные колебания в среде без сопротивления (32, 220). 2. Свободные колебания в среде с сопротивлением (35, 230). 3. Вынужденные колебания под действием распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением (35, 234). 4. Колебания при неоднородности сред и других условиях, приводящих к уравнениям с переменными коэффициентами; учет сосредоточенных сил и масс (39, 255).
§ 4. Метод интегральных представлении 41
1. Метод интеграла Фурье (41, 263). 1*. Переход к конечному интервалу методом отражений (45, 276). 2, Метод Римана (45, 277). Глава III. Уравнения параболического типа 47
§ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач 47
1. Однородные среды; уравнения с постоянными коэффициентами (48, 283). 2. Неоднородные среды, сосредоточенные факторы; уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения (49, 287). 3. Подобие краевых задач (50, 289).
§ 2. Метод разделения переменных 51
1. Однородные изотропные среды. Уравнения с постоянными коэффициентами (51, 294). а) Задачи теплопроводности с постоянными граничными условиями и свободными членами (511 294), б) Задачи теплопроводности с переменными граничными условиями и свободными членами, зависящими от х и t (53, 302). в) Задачи диффузии (55, 307). г) Задачи электродинамики (55, 308). 2. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы. Уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения (56, 310).
§ 3. Метод интегральных представлений и функции источников 57
1. Однородные изотропные среды. Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой (57, 312). 2. Однородные изотропные среды. Построение функций влияния сосредоточенных источников (58, 316). а) Неограниченная прямая (59, 316). б) Полупрямая (60, 319). в) Конечный отрезок (64, 326). 3. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочио-постоянными коэффициентами и условия сопряжения (66, 334).
Часть 1

Глава IV. Уравнения эллиптического типа 67
§ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа и 67 постановка краевых задач
1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде (67, 338). 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в неоднородных средах (68, 343).
§ 2. Простейшие задачи для уравнений Лапласа и Пуассона 69
1. Краевые задачи для уравнения Лапласа (69, 348). 2. Краевые задачи для уравнения Пуассона (71, 353).
§ 3. Функция источника 72
1. Функция источника для областей с плоскими границами (72, 356). 2. Функция источника для областей со сферическими (круговыми) и плоскими границами (74, 366). 3. Функция источника в неоднородных средах (75, 374).
§ 4. Метод разделения переменных 76
1. Краевые задачи для круга, кольца и сектора (76, 379). 2. Краевые задачи для полосы, прямоугольника, плоского слоя а параллелепипеда (79, 395). 3. Задачи, требующие применения цилиндрических функций (81, 407). 4. Задачи, требующие применения сферических н цилиндрических функций (82, 422).
§ 5. Потенциалы и их применение 85
Глава V. Уравнения параболического типа 89
§ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач 89
§ 2. Метод разделения переменных 91
1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций (91, 455). а) Однородные среды (91, 455). б) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы (93, 462). 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций (94,466). а) Однородные среды (94, 466). б) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы (97, 483).
§ 3. Метод интегральных представлении 98
1. Применение интеграла Фурье (99, 490). 2. Построение и применение функций влияния мгновенных точечных источников тепла (101, 501).
Глава VI. Уравнения гиперболического типа 106
§ 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач 106
§ 2. Простейшие задачи; различные приемы решения 110
§ 3. Метод разделения переменных 115
1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций (115, 527). а) Однородные среды (115, 527). б) Неоднородные среды (117, 552). 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций (117,534). а) Однородные среды (117, 534). б) Неоднородные среды (122, 560).
§ 4. Метод интегральных представлений 122
1. Применение интеграла Фурье (122, 561). а) Преобразование Фурье (122, 561). б) Преобразование Фурье—Бесселя (Ханкеля) (123, 5615). 2. Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников (124, 570). а) Функций влияния мгновенных сосредоточенных импульсов (124, 570). б) Функции влияния непрерывно действующих сосредоточенных источников (125, 576).
Глава VII. Уравнения эллиптического типа 127
§ 1. Задачи для уравнения 127
§ 2. Некоторые задачи о собственных колебаниях 129
1. Собственные колебания струн и стержней (129, 686).
2. Собственные колебания объемов (130, 594).
§ 3. Распространение и излучение звука 132
1. Точечный источник (133, 611). 2. Излучение мембран, цилиндров и сфер (134, 617). 3. Дифракция на цилиндре и сфере (136, 627).
§ 4. Установившиеся электромагнитные колебания 137
1. Уравнения Максвелла. Потенциалы. Векторные формулы Грииа — Остроградского (137, 633). 2. Распространение электромагнитных волн и колебания в резонаторах (139, 639). 3. Излучение электромагнитных волн (140, 650). 4. Антенна на плоской земле (142,656).
Дополнение 668
I. Различные ортогональные системы координат 668
1. Прямоугольные координаты (668). 2. Цилиндрические координаты (669). 3. Сферические координаты (669). 4. Эллиптические координаты (669). 5. Параболические координаты (670). 6. Эллипсоидальные координаты (670). 7. Вырожденные эллипсоидальные координаты (671). 8. Тороидальные координаты (672). 9. Биполярные координаты (672). 10. Сфероидальные координаты (673). 11. Параболоидные координаты (674).
II. Некоторые формулы векторного анализа 674
III. Специальные функции 674
1. Тригонометрические функции (674). 2. Гиперболические функции (675).3. Интеграл ошибок (675).4. Гамма-функции (675). 5. Эллиптические функции (676). 6. Функции Бесселя (676). 7. Полиномы Лежандра (678). 8. Гипергеометрическая функция F(679).
IV. Таблицы интеграла ошибок и корней некоторых характеристических уравнений 680
Литература 685

Часть 2