Демидович Б.П., Марон И.А. Численные методы анализа: приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения

Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа: приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. - 3-е изд. - М., 1967. - 368 с.
В книге излагаются избранные вопросы вычислительной математики, и по содержанию она является продолжением учебного пособия Б. П. Демидовича и И. А. Марона «Основы вычислительной математики».
Настоящее, третье издание отличается от предыдущего более доходчивым изложением. Добавлены новые примеры.
Рассчитана на студентов технических, экономических и педагогических институтов. Может быть использована также инженерами, вычислителями и лицами, работающими в области прикладной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию ....................................6
Введение................................9
Литература к введению........................11
Глава I. Приближение функций...................12
§ 1. Постановка задачи о приближении функций........12
§ 2. Интерполирование функций................13
§ 3. Интерполирование периодических функций с помощью тригонометрических полиномов...............17
§ 4. Точечное квадратичное аппроксимирование функций .... 21
§ 5. Функции ортогональные на точечном множестве .....27
§ 6. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек........................34
§ 7. Интегральное квадратичное аппроксимирование функций на
отрезке ...........................40
§ 8. Ортогональные на промежутке системы функций .....43
§ 9. Понятие о гармоническом анализе.............49
§ 10. Полиномы Лежандра...................56
§ 11. Ортогональность с весом.................63
§ 12. Полиномы Чебышева ...................65
§ 13. Понятие о равномерном приближении функций ......71
Литература к главе I......................78
Глава II. Эмпирические формулы..................79
§ 1. Вводные замечания ....................79
§ 2. Линейная зависимость...................82
§ 3. Метод выравнивания ...................84
§ 4. Квадратичная (параболическая) зависимость........89
§ 5. Определение параметров эмпирической формулы......91
§ 6. Метод выбранных точек..................92
§ 7. Метод средних ......................93
§ 8. Метод наименьших квадратов............96
§ 9. Некоторые соображения о выборе вида эмпирической формулы с двумя параметрами................101
§ 10. Эмпирические формулы, содержащие три параметра .... 107
§ 11. Уточнение полученной эмпирической формулы.......112
§ 12. Общий метод определения параметров эмпирической формулы 114
Литература к главе II ...................120
Глава III. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений .......................121
§ 1. Общие замечания.....................121
§ 2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов .....................128
§ 3. Метод последовательных приближений...........134
§ 4. Метод численного интегрирования.............140
§ 5. Метод Эйлера.......................И4
§ 6. Модификации метода Эйлера................147
§ 7. Метод Рунге—Кутта....................151
§ 8. Метод Адамса.......................156
§ 9. Метод А. Н. Крылова последовательных сближений . . . 163
§ 10. Метод Милна.......................168
§ 11. Методы, основанные на применении производных высших порядков........................181
§ 12. Численное интегрирование дифференциальных уравнений второго порядка ..................... 187
§ 13. Метод Чаплыгина . ...................191
§ 14. Метод Ньютона—Канторовича...............201
§ 15. Некоторые замечания об оценке погрешностей решений дифференциальных уравнений.................202
Литература к главе III.....................207
Глава IV. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений ..........................209
§ 1. Общая постановка краевой задачи.............209
§ 2. Линейная краевая задача.................212
§ 3. Редукция к задаче Коши двухточечной краевой задачи для
линейного уравнения второго порядка .......... 217
§ 4. Метод конечных разностей.................219
§ 5. Метод прогонки......................224
§ 6. Метод коллокации.....................232
§ 7. Метод наименьших квадратов . ..............234
§ 8. Метод Галеркииа .....................237
§ 9. Понятие о приближенных методах решения общей краевой
задачи........................... 240
Литература к главе IV.....................243
Глава V. Приближенные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными . . . 244
§ 1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными ......................244
§ 2. Начальные и краевые условия. Задача Коши. Смешанная задача. Корректность постановки смешанной задачи .... 247
§ 3. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа .... 253
§ 4. Некоторые сведения о гармонических функциях. Единственность решения задачи Дирихле..............255
§ 5. Уравнение Лапласа в конечных разностях ........257
§ 6. Решение задачи Дирихле методом сеток..........261
§ 7. Процесс Либмана ....................264
§ 8. Понятие о решении задачи Дирихле методом моделирования 270
§ 9. Понятие о решении задачи Дирихле методом Монте-Карло 272
§ 10. Метод сеток для уравнения параболического типа.....278
§ 11. Устойчивость конечно-разностной схемы для решения уравнения теплопроводности .................. 281
§ 12. Метод прогонки для уравнения теплопроводности.....285
§ 13. Метод сеток для уравнений гиперболического типа .... 290
§ 14. Понятие о методе прямых.................293
§ 15. Метод прямых для уравнения Пуассона..........297
Литература к главе V.....................302
Глава VI. Вариационные методы решения краевых задач......304
§ 1. Понятие о функционале и операторе............304
§ 2. Вариационная задача ...................308
§ 3. Основные теоремы вариационного метода решения краевых задач ...........................309
§ 4. Сведение линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка к вариационной
задаче...........................312
§ 5. Краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа .... 317
§ 6. Идея метода Ритца ....................321
§ 7. Метод Ритца для простейшей краевой задачи .......322
§ 8. Приложение метода Ритца к решению краевой задачи Штурма—Лиувилля.........................324
§ 9. Метод Ритца для задачи Дирихле .............328
Литература к главе VI.....................331
Глава VII. Интегральные уравнения................332
§ 1. Основные виды линейных интегральных уравнений.....332
§ 2. Связь между дифференциальными уравнениями и уравнениями Вольтерра.........................835
§ 3. Связь линейной краевой задачи с интегральным уравнением Фредгольма ........................337
§ 4. Метод последовательных приближений...........338
§ 5. Решение интегрального уравнения методом конечных сумм 341
§ 6. Метод вырожденных ядер.................345
§ 7. Метод коллокации.....................353
§ 8. Метод наименьших квадратов ...............356
§ 9. Метод моментов......................358
Литература к главе VII ....................361

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗