Егоров Ю.В., Шубин М.А., Комеч А.И. Дифференциальные уравнения с частными производными - 2 (серия "Современные проблемы математики", том 31).- М., 1988.
Эта статья содержит попытку авторов дать эскиз некоторых идей и методов современной теории линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Она является естественным продолжением содержащейся в предыдущем томе статьи авторов Ц21], где излагались классические вопросы, и посвящена в основном тем аспектам теории, которые связаны с возникшим в 60-е годы направлением, позже названным «микролокальным анализом» и включающим в себя теорию и приложения псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, а также использование языка волновых фронтов обобщенных функций. При этом по необходимости, затрагивается и ряд важных вопросов, относящихся к теории, предшествовавшей возникновению микролокального анализа, а иногда и вполне классических. Авторы ни в коей мере не претендуют на полноту. Эта статья является лишь вводной к серии более детальных статей различных авторов, которые публикуются в этом и последующих томах и будут содержать развернутое изложение большинства затронутых здесь вопросов.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие................................6>
Некоторые обозначения..........................7
§ 1. Псевдодифференциальные операторы.......8
1.1. Определение и простейшие сведения..............8
1.2. Запись оператора с помощью амплитуды. Связь амплитуды и символа. Символы транспонированного и сопряженного операторов ...................11
1.3. Теорема о композиции. Параметрнкс эллиптического оператора.......16
1.4. Действие псевдодифференциальных операторов в пространствах Соболева и точные теоремы о регулярности решений эллиптических уравнений...........20-
1.5. Замена переменных и псевдодифференцнальные операторы на многообразии..............22
1.6. Постановка проблемы индекса. Простейшие формулы индекса ....... 28
1.7. Эллиптичность с параметром. Резольвента н комплексные степени эллиптических операторов.........30
1.8. Псевдодифференциальные операторы в R".....36-
§ 2. Сингулярные интегральные операторы и их применение. Теорема Кальдерона. Сведение на границу краевой задачи для эллиптических уравнений...............40
2.1. Определение. Теоремы об ограниченности......40'
2.2. Гладкость решений эллиптических уравнений второго порядка 40'
2.3. Связь с псевдодифференциальными операторами .... 41
2.4. Диагонализацня гиперболической системы уравнений ... 42
2.5. Теорема Кальдерона............43
2.6. Сведение на границу задачи с косой производной ... 44-
2.7. Сведение на границу краевой задачи для уравнения второго порядка...............45-
2.8. Сведение на границу краевой задачи для эллиптической системы ...............48-
§ 3. Волновой фронт обобщенной функции и простейшие теоремы о распространении особенностей..........48
3.1. Определение и примеры...........48
3.2. Свойства волнового фронта...............50
3.3. Приложение к теории дифференциальных уравнений . . . 5Ї
3.4. Некоторые обобщения ...........52.
§ 4. Интегральные операторы Фурье.........53»
4.1. Определение. Примеры...........53
4.2. Некоторые свойства интегральных операторов Фурье ... 54
4.3. Композиция интегральных операторов Фурье с псевдодиффе-ренциальнымн операторами..........56
4.4. Канонические преобразования.........57
4.5. Связь канонических преобразоиаиий с интегральными операторами Фурье..............59
4.6. Лагранжевы многообразия и фазовые функции .... 60
4.7. Лагранжевы многообразия и распределения Фурье ... 63
4.8. Глобальное определение интегрального оператора Фурье ...... 63
§ 5. Псевдодифференциальные операторы главного типа ... 64
5.1. Определение. Примеры...........64
5.2. Операторы с вещественным главным симиолом .... 65
5.3. Разрешимость уравнений главного типа с вещественным главным символом.............67
5.4. Разрешимость операторов главного типа с комплекснозначным главным символом............68
§ 6. Смешанная задача для гиперболических уравнений .... 69
6.1. Постановка задачи................69
6.2. Условие Херша—Крейсса..........70
6.3. Условия Сакамото............72
6.4. Отражение особенностей на границе...... .74
6.5. Пример Фрндлендера...........75
6.6. Применение канонических преобразований ...... 77
6.7. Классификация граничных точек........78
6.8. Пример Тейлора..............79
6.9. Задача с косой производной.........80
§ 7. Метод стационарной фазы и коротковолновые асимптотики .....83
7.1. Метод стационарной фазы..........83
7.2. Локальные асимптотические решения гиперболических уравнений ................86
7.3. Задача Кошн с быстро осциллирующими начальными данными 90
7.4. Локальный параметрикс задачи Коши и распространение особенностей решений............92
7.5. Канонический оператор Маслова и глобальные асимптотические решения задачи Коши ...........95
§ 8. Асимптотика собственных значений самосопряженных дифференциальных и псевдодиффереицнальных операторов .... 102
8.1. Вариационные принципы н оценки собственных значений - • 102
8.2. Асимптотика собственных значений оператора Лапласа в области евклидова пространства..........105
8.3. Общая формула вейлевской асимптотики и метод приближенного спектрального проектора ........108
8.4. Тауберовы методы............112
8.5. Метод гиперболического уравнения........116
Литература.................120
