Евграфов М. А. Аналитические функции: Учеб. пособие для вузов — 3-е изд., перераб. и доп.— М., Гл. ред. физ.-мат. лит. 1991. — 448 с.
Первое издание вышло в 1965 году, второе — в 1968 году, и оба издания быстро разошлись. Книга пользуется большим спросом, но стала библиографической редкостью. Своим содержанием, методическим подходом она по-прежнему сильно отличается от других учебников по теории аналитических функдид, хотя за истекшее время их появилось много.
В третьем издании исправлены замеченные неточности и внесены улучшения в некоторые доказательства.
Для студентов вузов с повышенной программой по математике.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию................5
Из предисловия к первому изданию..............5
Глава I. ВВЕДЕНИЕ ............7
§ 1. Комплексные числа . ............7
§ 2. Множества, функции и кривые ......12
§ 3. Пределы и ряды .... .......18
§ 4. Непрерывные функции..........22
§ 5. Криволинейные интегралы...... . 25
§ 6. Интегралы, зависящие от параметра......32
§ 7. Гомотопность кривых в областях на сфере .... 36
§ 8. Топологические пространства........41
Глава II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА 48
§ 1. Дифференцируемые и голоморфные функции ... 48
§ 2. Теорема Коши............52
§ 3. Интегральная формула Коши........61
§ 4. Критерии голоморфности.........67
§ 5. Теорема единственности.........73
§ 6. Поведение основных элементарных функций ... 79
Глава III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 83
§ 1. Понятие аналитической функции.......83
§ 2. Основные элементарные многозначные функции ... 93
§ 3. Ветви аналитической функции........102
§ 4. Исследование характера многозначности.....106
§ 5. Римановы поверхности..........116
Глава IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ 127
§ 1. Понятие особой точки..........127
§ 2. Стирание особенностей..........137
§ 3. Изолированные особые точки........141
§ 4. Вычеты и ряд Лорана..........147
§ 5. Разложение мероморфной функции в ряд простейших дробей..............154
§ 6. Принцип аргумента и теорема Руше......158
§ 7. Обратная функция...........162
§ 8. Неявные функции...........169
Глава V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.....174
§ 1. Общие сведения об отображениях.......174
§ 2. Дробно-линейные отображения.......180
§ 3. Конформные отображения элементарными функциями 186
§ 4. Принцип симметрии Римана — Шварца.....192
§ 5. Интеграл Крис гоффеля — Шварца.......19В
§ 6. Оценки конформного отображения вблизи границы 205
Глава VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ.........215
§ 1. Несобственные контурные интегралы......215
§ 2. Аналитическое продолжение контурных интегралов 221
§ 3. Вычисление определенных интегралов.....227
§ 4. Асимптотические формулы для интегралов .... 234
§ 5. Суммирование рядов..........241
§ 6. Основные формулы, относящиеся к гамма-функции Эйлера..............248
Глава VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ..... 254
§ 1. Формула обращения преобразования Лапласа . . . 254
§ 2. Теорема о свертке и другие формулы......264
§ 3. Примеры применения метода........270
§ 4. Обобщенное преобразование Лапласа......277
§ 5. Использование аналитического продолжения .... 283
§ 6. Преобразование Меллина.........289
Глава VIII. ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ..............294
§ 1. Основные свойства гармонических функций . . . . 294
§ 2. Субгармонические функции........300
§ 3. Задача Дирихле и интеграл Пуассона.....310
§ 4. Гармоническая мера..........317
§ 5. Теоремы единственности для ограниченных функций 327
§ 6. Теоремы Фрагмена — Лииделефа.......333
Глава IX. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ............341
§ 1. Существование копформного отображения .... 341
§ 2. Соответствие границ при конформном отображении 350
§ 3. Группа автоморфизмов конформного отображения 357
§ 4. Задача Дирихле и отображение на канонические области 369
§ 5. Отображение плоскости с выколотыми точками . . . 377
§ 6. Автоморфные и эллиптические функции.....384
Глава X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ..............393
§ 1. Принцип гиперболической метрики......393
§ 2. Принцип симметризации.........401
§ 3. Оценки однолистных в среднем функций.....405
§ 4. Принцип длины и площади.........414
§ 5. Распределение значений целых и мероморфных функций 420
§ 6. Теорема Неванлинны о дефектах.......429
Список литературы............441
Алфавитный указатель....... 443
