Ф. Трикоми. Дифференциальные уравнения. 1962 год. 362 стр.
Книга посвящена теории дифференциальных уравнений . Книга, предлагаемая вниманию читателя, написана со свойственными автору простотой, ясностью и изяществом. Тщательный отбор материала и продуманность изложения позволяют при сравнительно небольшом объёме осветить многие важные задачи, идеи, методы и результаты со временной теории дифференциальных уравнений, которые обычно опускаются в общих курсах.
Книга написана весьма просто. Она может служить пособием для студентов и аспирантов математиков и физиков, а также для инженеров. Немало интересного найдут в ней и специалисты-математики.
Оглавление
Предисловие переводчика 5
Предисловие к первому итальянскому изданию 7
Предисловие ко второму итальянскому изданию 9
Предисловие к английскому изданию 10
I. Теорема о существовании и единственности
1. Некоторые элементарные сведения о дифференциальных уравнениях 11
2. Подготовка к фундаментальной теореме 14
3. Теорема о существовании и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений 16
4. Дополнительные замечания 23
5. Круговые функции 27
6. Эллиптические функции 35
II. Поведение характеристик уравнения первого порядка
7. Предварительные рассмотрения 44
8. Примеры уравнений с особыми точками 50
9. Изучение укороченного уравнения 58
10. Некоторые теоремы общего характера 66
11. Индекс Пуанкаре 76
12. Узел 79
13. Фокус и седло 88
14. Предельные циклы и релаксационные колебания 101
15. Периодические решения в фазовом пространстве 111
III. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка
16. Предварительные рассмотрения 118
17. Теорема Валле Пуссена 122
18. Упрощения заданного уравнения 127
19. Теоремы о нулях и о максимумах и минимумах решений 129
20. Теоремы о сравнении и их следствия 133
21. Интервал между последовательными нулями решения 138
22. Важная замена переменной 141
23. Теорема о колебании 147
24. Собственные значения и собственные функции 153
25. Физическое истолкование 156
26. Некоторые свойства собственных значений и собственных функций 160
27. Связь с теорией интегральных уравнений 171
IV. Асимптотические методы
28. Общие замечания 179
29. Общий метод, применимый к линейным дифференциальным уравнениям 182
30. Дифференциальные уравнения с устойчивыми решениями 190
31. Случай, в котором коэффициент при y стремится к отрицательному пределу 198
32. Подготовка к асимптотическому исследованию собственных значений и собственных функций 208
33. Первая форма асимптотического выражения для собственных функций 212
34. Асимптотическое выражение для собственных значений 217
35. Вторая форма асимптотического выражения для собственных функций 222
36. Уравнения с переходными точками 226
37. Дифференциальное уравнение и полиномы Лагерра 230
38. Асимптотическое поведение полиномов Лагерра 238
39. Дифференциальное уравнение и полиномы Лежандра 244
40. Асимптотическое выражение для полиномов Лежандра 249
V. Дифференциальные уравнения в поле комплексных чисел
41. Мажорантные функции 257
42. Доказательство фундаментальной теоремы методом Коши 261
43. Общие замечания об особых точках решений дифференциальных уравнений. Случай линейных уравнений 267
44. Исследование многозначности решений линейного уравнения 272
45. Случай отсутствия существенных особенностей 278
46. Интегрирование рядами уравнений типа Фукса 281
47. Вполне фуксовы уравнения. Гипергеометрическое уравнение 290
48. Предварительные замечания о существенных особенностях 305
49. Приложение метода последовательных приближений 311
50. «Асимптотическое интегрирование» приведённого уравнения 316
51. Вывод и дальнейшие замечания 321
52. Приложение к конфлюентным гипергеометрическим функциям и к функциям Бесселя 326
Литература 336
Именной указатель 343
Предметный указатель 346
