Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения: Учеб.: Для вузов. — 4-е изд. — М., 2005. — 256 с. — (Курс высшей математики и математической физики - Вып. 6
Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А.Г. Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение многих лет на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Изложение отвечает современному состоянию теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуется специалистам по физике и математике. Большое внимание уделено численным и асимптотическим методам решения. Воспроизводится с 3-го изд. 1998 г. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика».
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию...................................... 7
Предисловие ко второму изданию...................................... 8
Предисловие к первому изданию....................................... 9
ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Понятие дифференциального уравнения.............................. 10
§ 2. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям . . 15
ГЛАВА 2 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Элементарные методы интегрирования................................................................27
§ 2. Теоремы существования и единственности решения начальной задачи для одного уравнения первого порядка, разрешенного относительно
производной. Алгоритм ломаных Эйлера............................................................35
§ 3. Уравнение, неразрешенное относительно производной................................43
§ 4. Теоремы существования и единственности решения нормальной системы ...................................................................................................................................52
§ 5. Зависимость решений от начальных значений и параметров....................58
§ 6. Метод последовательных приближений (метод Пикара)............................66
§ 7. Принцип сжимающих отображений. Теорема о неподвижной точке ... 70
ГЛАВА 3
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнение движения маятника как пример линейного уравнения. Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами ..................................................................................................................................75
§ 2. Общие свойства линейного уравнения п-го порядка......................................81
§ 3. Однородное линейное уравнение n-го порядка................................................85
§ 4. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка............................................88
§ 5. Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. . 92
§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория..................................................98
§ 7. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ..................................................................................................................106
§ 8. Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда ... 113
ГЛАВА 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Постановка краевых задач и их физическое содержание.............. 116
§ 2. Неоднородная краевая задача......................................... 121
§ 3. Задачи на собственные значения...................................... 136
ГЛАВА 5 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Постановка задачи..................................................... 141
§ 2. Исследование на устойчивость но первому приближению..........................147
§ 3. Метод функций Ляпунова..........................................................................................152
§ 4. Исследование траекторий в окрестности точки покоя..................................158
ГЛАВА 6
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Разностные методы решения начальной задачи....................... 165
§ 2. Краевые задачи........................................................ 182
ГЛАВА 7
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
§1. Регулярные возмущения............................................... 193
§ 2. Сингулярные возмущения............................................. 199
ГЛАВА 8
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Линейное уравнение................................................... 227
§ 2. Квазилинейное уравнение............................................. 237
Список литературы....................................................... 249
Предметный указатель................................................... 251
