Федоров В. М. Курс функционального анализа: Учебник

Федоров В. М. Курс функционального анализа: Учебник. — СПб., 2005. — 352 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература).
Книга «Курс функционального анализа» написана как учебник для студентов математических специальностей. В ней содержится изложение курса функционального анализа, читаемого в пятом и шестом семестрах на отделении механики механико-математического факультета МГУ. Вопросы теории функций, теории приближений, теории обобщенных функций, преобразований Фурье и спектральной теории операторов освещаются в ней с единой точки зрения — теории линейных пространств. Следует отметить, что общая точка зрения функционального анализа, развиваемая в этом курсе, не является целью сама по себе, а только средством для изучения современных областей математического анализа. Например, многие трудные топологические вопросы функционального анализа излагаются на основе пространств сходимости, что позволяет быстрее и проще войти в курс теории обобщенных функций.
В пределах каждой излагаемой темы мы вынуждены быть максимально краткими, и ограничиваться лишь выяснением наиболее важных вопросов, вполне осознавая, что читатель, быть может, в некоторых случаях, останется неудовлетворенным. Поэтому ряд интересных тем и лежащие в стороне вопросы были вынесены в упражнения и задачи.
Последняя глава книги содержит список упражнений и задач. Большинство из них не требуют особой сообразительности, а предназначаются для более глубокого усвоения материала. От студентов требуется владение некоторыми вопросами математического анализа, например, в объеме стандартных первых четырех семестров. При этом условии книгой можно пользоваться и для самостоятельного изучения предмета.
Оглавление
Предисловие...................... 6
Глава 1. Измеримые множества............ 7
§ 1. Мера на полукольце множеств......... 7
§ 2. Продолжение меры на кольцо.......... 13
§ 3. Мера Стилтьеса на прямой........... 15
§ 4. Теорема Каратеодори о внешней мере .....18
§ 5. Продолжение меры по Лебегу.......... 21
§ 6. Продолжение меры по Жордану ........ 27
§ 7. Измеримые функции и их свойства....... 30
§ 8. Сходимость почти всюду............. 34
§ 9. Теоремы Егорова и Лузина........... 36
Глава 2. Интеграл Лебега ............... 40
§ 1. Интеграл по конечно-аддитивной мере..... 40
§ 2. Интеграл по счетно-аддитивной мере..... 46
§ 3. Счетная аддитивность интеграла........ 50
§ 4. Абсолютная непрерывность интеграла..... 52
§ 5. Теорема о монотонной сходимости....... 55
§ 6. Предельный переход под интегралом...... 57
§ 7. Прямое произведение мер............ 60
§ 8. Теорема Фубини о повторных интегралах ... 63
§ 9. Мера Лебега в пространстве Шп ........ 67
§ 10. Критерий интегрируемости по Риману..... 70
Глава 3. Банаховы пространства ........... 74
§ 1. Нормированные пространства.......... 74
§ 2. Пространство ограниченных операторов .... 77
§ 3. Изоморфизм банаховых пространств...... 79
§ 4. Принцип продолжения операторов....... 82
§ 5. Теорема Хана-Банаха о продолжении..... 84
§ 6. Сопряженные пространства........... 87
§ 7. Отображение двойственности.......... 94
§ 8. Неравенства Гельдера и Минковского..... 97
§ 9. Лебеговы пространства LP(X).......... 101
§ 10. Сопряженное пространство L*(X) ....... 105
§ 11. Сопряженные линейные операторы....... 108
Глава 4. Наилучшие приближения .......... 113
§ 1. Существование и единственность........ ИЗ
§ 2. Теорема Чебышева об альтернансе....... 117
§ 3. Экстремальные задачи о полиномах...... 121
§ 4.Наилучшие приближения в Lx(X)....... 127
§ 5. Наилучшие приближения в LP{X)....... 131
§ 6. Всюду плотные множества в LP(X)....... 135
§ 7. Аппроксимация гладкими функциями..... 139
Глава 5. Гильбертовы пространства ......... 143
§ 1. Евклидовы пространства............. 143
§ 2. Теорема о наилучшем приближении...... 146
§ 3. Теорема Рисса о представлении......... 150
§ 4. Ортонормированные системы.......... 153
§ 5. Теорема Стеклова о полноте........... 155
§ 6. Изоморфизм гильбертовых пространств .... 157
Глава 6. Преобразование Фурье............ 162
§ 1. Преобразование Фурье ... ... . 162
§ 2. Формулы преобразования Фурье........ 164
§ 3. Оператор Фурье в пространстве .... 170
§ 4. Теорема Планшереля об операторе Фурье . . . 174
§ 5. Система собственных функций Эрмита .... 176
Глава 7. Пространства сходимости .......... 180
§ 1. Аксиомы сходимости по Фреше......... 180
§ 2. Линейные пространства сходимости...... 182
§ 3. Полнота сопряженного пространства...... 185
§ 4. Принцип равномерной сходимости. ...... 187
§ 5. Локально выпуклые пространства....... 191
§ 6. Примеры пространств сходимости....... 194
Глава 8. Обобщенные функции ............ 198
§ 1. Сопряженное пространство 198
§ 2. Действия с обобщенными функциями..... 203
§ 3. Структура обобщенных функций........ 206
§ 4. Сопряженное пространство ...... 210
§ 5. Регулярные обобщенные функции....... 215
§ 6. Пространство Соболева ......... 218
§ 7. Пространство Шварца ......... 223
§ 8. Преобразование Фурье в ........ 226
Глава 9. Ограниченные операторы ..........233
§ 1. Теорема Бэра о категории............ 233
§ 2. Принцип равномерной ограниченности 236
§ 3. Сильная и слабая сходимости.......... 239
§ 4. Теорема о замкнутом графике.......... 244
§ 5. Теорема об обратном операторе......... 247
§ 6. Спектр ограниченного оператора........ 252
§ 7. Граница спектра и спектральный радиус .... 257
Глава 10. Компактные множества ...........264
§ 1. Свойства компактных множеств........ 264
§ 2. Критерий компактности Хаусдорфа....... 267
§ 3. Критерий компактности в С(К)......... 268
§ 4. Критерий компактности в LP .......... 272
§ 5. Критерий компактности в LP(X)........ 273
§ 6. Слабо компактные множества......... 276
Глава 11. Компактные операторы ...........280
§ 1. Свойства компактных операторов........ 280
§ 2. Теорема Рисса-Шаудера............. 284
§ 3. Четыре теоремы Фредгольма.......... 288
§ 4. Свойства эрмитовых операторов........ 293
§ 5. Теорема Гильберта-Шмидта........... 295
§ 6. Интегральные операторы Фредгольма 298
§ 7. Задача Штурма-Лиувилля............ 305
Глава 12. Упражнения и задачи............. 311
§ l.Mepa и интеграл Лебега............. 311
§ 2. Банаховы и гильбертовы пространства 320
§ 3. Пространства обобщенных функций...... 330
§ 4. Спектральная теория операторов........ 340