Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 2-е изд., перераб. и доц.—-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.— 448 с.
Книга содержит наложение основ теории обыкновенных дифференциальных уравнений, включая теорию устойчивости, и вариационное, исчисление. Значительное место уделено уравнениям с частными производными первого порядка, аналитической теории дифференциальных уравнений и асимптотике решений линейных уравнений второго порядка. В этом издании (первое издание выходило в 1980 г.) добавлены методы теории возмущений при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Для студентов втузов, а также для инженеров-исследователей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............. 6
Глава 1. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений 7
§ 1. Общие понятия, примеры ....... 7
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка ..... 9
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип суперпозиции ........ ..... 34
§ 4. Линейное уравнение первого порядка с постоянными
коэффициентами...........36
§ 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами ....... 39
§ 6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами......... 47
§ 7. Линейные уравнения с правой частью — квазимногочленом ..............50
§ 8. Линейные системы с постоянными коэффициентами.
Случай простых корней........ 59
§ 9. Фазовая плоскость линейной системы.....67
§ 10. Линейные системы с постоянными коэффициентами.
Случай кратных корней . ........ 71
§ 11. Операционное исчисление........79
§ 12. Линейные разностные уравнения ...... 84
Глава 2. Основные свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений......88
§ 1. Основная теорема 88
§ 2. Линейные нормированные пространства . ........96
§ 3. Принцип сжатых отображений 99
§ 4. Лемма Адамара............106
§ 5. Доказательство основной теоремы. Теорема существования и единственности для уравнений n-го порядка ...108
§ 6. Гладкость решений .........116
§ 7. Зависимость решений от параметров и начальных условий..........117
§ 8. Обратные И неявные функции 121
§ 9. Зависимые и независимые функции. Криволинейные
координаты.................129
§ 10. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной ........ 140
Глава 3. Линейные уравнения и системы.....162
§ 1. Теорема существования и единственности .... 162
§ 2. Функции от матриц и однородные линейные системы с
постоянными коэффициентами.......167
§ 3. Линейная зависимость и независимость функций и век-
тор-функций. Определитель Вронского.....177
§ 4. Формула Лиувилля.............180
§ 5. Фундаментальные системы решений.....182
§ 6. Неоднородные линейные системы с переменными коэффициентами ............184
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 185
§ 8. Понижение порядка линейных и нелинейных дифференциальных уравнений..........196
§ 9. Нули решений однородных линейных уравнений второго порядка............204
§ 10. Элементы аналитической теории дифференциальных
уравнений. Уравнение Бесселя.......207
§11. Уравнения с периодическими коэффициентами ...........217
§ 12. Дельта-функция и ее применения......225
Глава 4. Автономные системы и теория устойчивости ..............240
§ 1. Автономные системы. Общие свойства . . ... ......240
§ 2. Структура решений автономной системы в окрестности
неособой точки...........247
§ 3. Изменение фазового объема........249
§ 4. Производная в силу системы. Первые интегралы . . 256
§ 5. Одномерное движение частицы в потенциальном поле 263
§ 6. Устойчивость. Функция Ляпунова......276
§ 7. Устойчивость положения равновесия линейной системы 284
§ 8. Устойчивость по линейному приближению . . . 288
§ 9. Двумерные автономные системы (элементы качественной теории)................295
Глава 5. Уравнения с частными производными первого
порядка............304
§ 1. Некоторые задачи, приводящие к уравнениям 1-го порядка с частными производными......304
§ 2. Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений 307
§ 3. Задача Коши для линейных и квазилинейных уравнений ...............313
§ 4. Линейные и нелинейные волны .......319
§ 5. Нелинейные уравнения.........324
Глава 6. Элементы вариационного исчисления .... 334
§ 1. Функционалы............334
§ 2. Функционалы в линейных нормированных пространствах ..............335
§ 3. Простейшие задачи вариационного исчисления ............339
§ 4. Функционалы, зависящие от высших производных ..........346
§ 5. Функционалы, зависящие-от вектор-функций. Принцип
наименьшего действия в механике......347
§ 6. Условный экстремум..........350
§ 7. Задача Лагранжа..............353
§ 8. Функционалы от функций многих переменных . ........355
§ 9. Достаточные условия слабого экстремума .................358
§ 10. Дополнительные сведения из вариационного исчисления 366
§ 11. Принцип максимума Понтрягина......374
Глава 7. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений........381
§ 1. Эвристические соображения........381
§ 2. Основные оценки...........383
§ 3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента ..............388
§ 4. Асимптотика решений при больших значениях параметра ..............398
§ 5. Элементы теории возмущений.......405
Список литературы ...........445

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗