Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. - М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1959. - 400с.
Вниманию читателей предлагается книга известного отечественного математика А.О. Гельфонда (1906-1968), в которой изложена теория конечных разностей. Данная теория имеет большое значение как для приближенных вычислений, в том числе для численного интегрирования и приближенного решения дифференциальных уравнений, так и для конструктивной теории функций действительного и комплексного переменного, теории вероятностей и теории чисел. Помимо основных классических задач теории конечных разностей, в книге содержатся главы, посвященные проблемам этой теории для аналитических функций комплексного переменного. Книга рекомендуется математикам - научным работникам, преподавателям, аспирантам и студентам математических факультетов вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию....................................7
Предисловие ко второму изданию . .................................8
Введение. Постановка задач теории конечных разностей..........9
1. Задача интерполяции........................................9
2. Суммирование функций и уравнения в конечных разностях 11
3. Постановка задач теории конечных разностей для аналитических функций комплексного переменного..........................12
Глава I. Задача интерполяции..................................14
§ 1. Общая постановка проблемы интерполяции..................14
1. Понятие разделенных разностей..............................14
2. Формула Лагранжа..............................16
3. Формула Ньютона..........................................21
§ 2. Многочлены Чебышева...........................24
§ 3. Формула Ньютона для равноотстоящих значений независимого
переменного..................................................33
1. Первый вывод формулы Ньютона............................33
2. Второй вывод формулы Ньютона............................35
3. Понятие обобщенной степени..............................37
4. Примеры...........................................38
§ 4. Различные представления разделенной разности в общем случае расположения узлов интерполяции......................39
1. Первое представление разделенной разности................39
2. Второе представление разделенной разности и формула Ньютона при произвольных узлах интерполяции....................40
3. Третье представление разделенной разности и формула Эрмита 45
§ 5. Интерполяционный процесс при треугольной таблице .... 48
1. Постановка Задачи и основные формулы . . . . ..........48
2. Оценки остаточного члена в общей интерполяционной формуле и основные теоремы о представлении функций интерполяционным рядом..........................
3. Основные теоремы о представлении функций общим интерполяционным рядом ...........................................60
§ 6. Приближение функций......................................66
1. Постановка задач и свойства непрерывных функций..........66
2. Приближение функций многочленами........................76
3. Сходимость интерполяционного процесса Лагранжа и теорема С. Н. Бернштейиа.....................
4. Многочлены С. Н. Бернштейна и их обобщение..............87
5. Приближение функций многочлеиами в комплексной плоскости Многочлены Фабера........................................98
§ 7. Интерполяционная задача и проблема моментов в комплексной плоскости ...............................................102
Глава II. Ряд Ньютона..........................................11З
§ 1. Вспомогательные предложения..............................113
1. Некоторые часто встречающиеся оценки....................11З
2. Гамма-функция, ее определение и основные свойства..........118
3. Асимптотическое представление Г(z)........................122
4. Некоторые общие характеристики поведения целых аналитических функций..............................................125
5. Некоторые свойства выпуклых областей. Опорная функция выпуклой области............................................130
6. Связь между индикатрисой роста целой аналитической функции первого порядка нормального типа и расположением особенностей ассоциированной с ней функции....................134
7. Плотность последовательности и показатель сходимости . . . 137
§ 2. Ряд Ньютона с узлами интерполяции 1, 2, 3,....................141
1. Абсцисса сходимости......................................141
2. Свойства функций, представляемых рядом Ньютона..........154
3. Разложение аналитических функций в ряд Ньютона..........160
§ 3. Ряд Ньютона при произвольных узлах интерполяции..........171
1. Область сходимости ряда Ньютона........................171
2. Случай конечного числа предельных точек последовательности узлов интерполяции на конечной части плоскости..............180
3. Интерполяционный процесс Ньютона в случае, когда узлы интерполяции имеют точку накопления только в бесконечности 187
4. Приложение интерполяционных процессов к решению некоторых вопросов теории чисел..................................196
Глава ІІІ. Построение целой функции с заданными элементами . . . 212
§ 1. Постановка задач и построение целой функции по ее значениям 212
1. Построение целой функции по ее значениям в некоторой последовательности точек..........................................212
2. Интерполяция рациональными дробями и одна теорема о целых (фикциях....................................................220
3. Определение целой функции по значениям последовательных производных....................... 223
4. Постановка общей задачи определения целой функции по заданным элементам............................................227
§ 2. Проблема моментов в комплексной области для целых функций не выше первого порядка нормального типа..................228
§ 3. Частные случаи общей интерполяционной задачи............240
§ 4, Линейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами и некоторые интерполяционные задачи, приводящиеся к решению подобных уравнений 247
Глава IV. Суммирование функций. Числа и многочлены Бернулли .....260
§ 1. Постановка задачи. Случаи элементарного суммирования . ..... 260
1. Связь между задачами суммирования и нахождения функции по заданной разности......................................260
2. Случаи элементарного суммирования........................262
3. Общие замечания о решении уравнения AF(x) .... 264
4. Решение уравнения Af(jc) = (jc) для случая, когда ф(х) — многочлен..................................................265
§ 2. Числа и многочлены Бернулли..............................270
1. Вычисление чисел Бернулли................................270
2. Дальнейшие свойства чисел Бернулли........................272
3. О малой теореме Ферма....................................276
4. Другой вид производящей функции бернуллиевых чисел . . . 276
5. Теорема Штаудта............................................279
6. Аналитические свойства многочленов Бернулли..............284
7. Теорема умножения бернуллиевых многочленов..............285
8. Геометрические свойства многочленов Бернулли............286
§ 3. Формула Эйлера............................................289
1. Предварительные соображения..............................289
2. Строгий вывод формулы Эйлера с остаточным членом ..... 293
3. Остаточный член формулы Эйлера............. . 298
4. Другая форма остаточного члена формулы Эйлера............299
5. Формула Стирлинга........................................303
Глава V. Уравнения в конечных разностях .....................307
§ 1. Постановка задачи............................................307
§ 2. Линейные уравнения первого порядка . . ......... 309
1. Однородное линейное уравнение ...................309
2. Неоднородное линейное уравнение..........................310
§ 3. Линейные уравнения. Общая теория........................312
1. Общий вид линейных уравнений ............. . 312
2. Основные теоремы о решениях линейного уравнения..........313
3. Линейная зависимость и независимость функций............316
4. Свойства частных решений линейного однородного уравнения 320
5. Неоднородное линейное уравнение. Метод вариации постоянных 324
6. Выражение многократной суммы через однократную..........327
§ 4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ...... 329
1. Однородное линейное уравнение. Характеристическое уравнение 329
2. Случай кратных корней....................................332
3. Общее решение и линейная независимость частных решений 334
4. Решение неоднородного линейного уравнения................338
5. Примеры....................................................339
§ 5. Теорема Пуанкаре..........................................347
1. Постановка вопроса..........................................347
2. Теорема Пуанкаре..........................................348
3. Теорема Перрона............................................359
4. Пример к теореме Пуанкаре............................360
§ 6. Теорема Гёльдера............................................362
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка..........................368
1. Уравнения бесконечного порядка как обобщение линейных разностных уравнений........................368
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами................369
3. Обобщенные функции Бернулли, порождаемые оператором L(F) 381
4. Линейные неоднородные уравнения..........................382
5. Обобщения понятия периода функции......................387
Литература по теории конечных разностей..........................399
