Годунов С. К. Уравнения математической физики. - Изд. 2-е, исправл. и дополн. Наука, Главная редакция физико-математической литературы. — М., 1979, 392 с.
Книга содержит изложение курса лекций, которые автор читал в Московском и Новосибирском университетах. Направленность книги связана с интересами автора в области приложений дифференциальных уравнений к механике сплошных сред и с разработками численных методов решения этих уравнений.
Во втором издании (1-е издание выходило в 1971 г.) основной переработке подверглась теория симметрических гиперболических систем. В частности, изложена теорема существования решений у диссипативной смешанной задачи в случае двух пространственных и одной временной переменных.
Книга представляет интерес как для студентов, изучающих курс уравнений математической физики, так и для лиц, специализирующихся в области приложений уравнений в частных производных и численных методов их решения.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................. 10
Глава I. Вводная часть............................ 11
§ 1. Ньютоновский потенциал........................ 11
Несколько предварительных замечаний о характере уравнений, которые будут изучаться в курсе. Исторические замечания о работах Лапласа, приведших его к уравнению для потенциала тяготения. Потенциал непрерывного распределения масс (или зарядов). Его непрерывность и непрерывная дифференцируемость. Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Убывание потенциала на бесконечности.
§ 2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге .......... 19
Принцип максимума для гармонических функций и теорема единственности для убывающего на бесконечности ньютоновского потенциала. Понятие о логарифмическом потенциале на плоскости. Аналитические и гармонические функции двух переменных. Некоторые специальные решения уравнения Лапласа и эвристический вывод формулы Пуассона для определения гармонической в круге функции по ее граничным значениям. Различные варианты записи этой формулы и некоторые свойства ядра. Обоснование формулы Пуассона для решения уравнения Лапласа. Постановка задачи и теорема единственности решения задачи Дирихле. Существование решения вытекает из обоснования формулы Пуассона.
§ 3. Уравнение теплопроводности...................... 28
Вывод уравнения теплопроводности. Задача Дирихле как задача определения стационарного распределения температуры по заданной температуре границы области. Постановка задач для одномерного уравнения теплопроводности. Принцип максимума для этого уравнения. Теоремы единственности задач 1 и 2 для уравнения теплопроводности при различных предположениях о решении и о начальной функции.
§ 4. Уравнение теплопроводности (продолжение).............. 41
Формула Пуассона для уравнения теплопроводности и ее обоснование. Решение с помощью интеграла Пуассона простейшей задачи для уравнения теплопроводности на конечном отрезке. Решение смешанной задачи. Нестрогий эвристический вывод интегральной формулы для решения уравнения теплопроводности. Примеры частных решений линейного и нелинейного уравнений теплопроводности.
§ 5. Гиперболические уравнения ...................... 57
Простейшие примеры гиперболических уравнений с частными производными: = уравнения для звуковых волн. Задача Коши для этих уравнений и ее решение с помощью характеристик. Гиперболическое уравнение второго порядка. Формула Даламбера. Интеграл энергии для звуковых волн. Доказательство единственности решения, основанное на использовании интеграла энергии. Смешанная задача и построение ее решений. Расширение системы уравнений включением в нее уравнений для производных. Интегралы энергии в смешанной задаче и теорема единственности. Интегральные оценки производных. Операторная точка зрения. Понятие о пополнении функциональных пространств, элементами которых являются начальные данные и решения.
§ 6. Характеристики ............................. 76
Определение характеристик для общей системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Соотношения на характеристиках. Комплексные характеристики уравнений Коши — Римана. Определение характеристик в случае большего числа независимых переменных. Определение t-гиперболической системы первого порядка. Симметрические t-гиперболические системы первого порядка. Пример — уравнения для звуковых волн. Инвариантность понятия характеристик относительно невырожденных преобразований искомых функций и замены уравнений эквивалентными линейными комбинациями. Конус характеристических нормалей. Определение характеристик для одного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши для такого уравнения. Примеры. Определение эллиптической системы и эллиптического уравнения.
§ 7. Метод Фурье............................... 92
Схема метода Фурье для уравнения Лапласа и его обоснование. Метод Фурье для гиперболической системы уравнений акустики. Представление решений в виде суммы стоячих волн. Пересказ вводной главы из работы Римана, посвященной истории метода Фурье. Ортогональность собственных вектор-функций и вычисление коэффициентов Фурье.
§ 8. Корректность............................... 109
Связь между корнями характеристического уравнения и свойствами коротких волн. Пример Адамара. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. Некорректная задача для уравнения теплопроводности. Замечания о предмете курса уравнений математической физики. Пример некорректно поставленной смешанной задачи для волнового уравнения и для уравнений акустики.
§ 9. Свойства функций, удовлетворяющих интегральным неравенствам 115
Оценка максимума и модуля непрерывности функции по интегралам от ее квадрата и квадрата ее производных. Непрерывность «в среднем». Свойства функций из функциональных пространств, введенных в § 5. Что надо понимать под выполнением граничных условий и удовлетворением начальных данных. Две теоремы, которые вместе с теоремой Арцела приводят к критериям компактности.
§ 10. Обобщенные решения.......................... 126
Обобщенное решение для уравнений акустики. Связь определения обобщенного решения с законами сохранения. Понятие обобщенного решения для простейшего гиперболического уравнения Обобщенное решение как предел гладких решений. Определение С. Л. Соболева. Эквивалентность этого определения классическому на гладких решениях. Уточнение определения. Теорема единственности. Теорема существования. Замечание об удовлетворении начального условия. Обобщенное решение в пространстве функций непрерывных по t «в среднем».
Глава II. Гиперболические уравнения.................... 140
§ 11. Интеграл энергии............................ 140
Приведение к каноническому виду гиперболической системы с двумя независимыми переменными в окрестности точки. Римановы инварианты. Неоднозначность их определения. Канонический вид — частный случай симметрической по Фридрихсу системы. Специальная форма симметрической системы с постоянной матрицей коэффициентов при производных по х. Тождество «интеграл энергии» для гладких решений симметрических ^-гиперболических систем. Пример: закон сохранения энергии для уравнений акустики. Интеграл энергии для волнового уравнения. Лемма об интегральном неравенстве.
§ 12. Теорема единственности и оценки решений гиперболических систем 153
Использование интеграла энергии для оценок решений симметрических гиперболических систем. Оценки проводятся в области полупространства />0, ограниченной сверху некоторой «шапочкой», о которой известно, что по ней поверхностный интеграл энергии неотрицателен. Как проверить это условие, пока не выясняется. Теорема единственности для рассматриваемых областей. Получение оценок для производных путем применения изучаемой техники к расширенным системам, включающим уравнения для оцениваемых производных. Расширение уравнений акустики.
§ 13. Условие неотрицательности квадратичной формы, связанной с интегралом энергии............ 162
Конус векторов, связанных с неотрицательно определенными квадратичными формами интеграла энергии. Его выпуклость. Способ вычисления границы этого конуса. Неравенство т-J-tf т]) ^ 0 и определение Н(£, т]). Однородность и вытекающее из нее равенство Н. Примеры: гиперболическая система с двумя независимыми переменными х, t в канонической форме и уравнения теории упругости. Замечание о случае переменных коэффициентов.
§ 14. Уравнение Гамильтона — Якоби.................... 168
Неравенство и уравнение Гамильтона — Якоби. Схематическое описание приема интегрирования этого уравнения. Бихарактеристики и канонические уравнения Гамильтона для их построения. Конус характеристических нормалей для уравнений акустики и уравнения Гамильтона— Якоби для этой системы. Описание областей единственности для нее. Конус характеристик и конус характеристических нормалей. Пример: уравнения акустики.
§ 15. Постановка смешанной задачи для гиперболической системы .... 180
Обсуждение (на примере) постановки граничных условий для гиперболической системы. Число условий, которое надо задавать на той или иной границе для однозначной разрешимости задачи. Условия согласования начальных данных и граничных условий (на примере). Диссипативные граничные условия. Возможность такого приведения гиперболической системы к каноническому виду,
чтобы граничные условия стали диссипативными. Смешанная задача для уравнений акустики в двумерном пространстве и ее приведение к диссипа-тивному виду.
§ 16. Теорема единственности и оценки решений в смешанной задаче 192
Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями. Оценка решения *и теорема единственности. Расширение системы уравнений и граничных условий задачи. Получение оценок производных. Обзор оценок решений для симметричных гиперболических систем. Условия согласования начальных данных и граничных условий. Непрерывная зависимость решений от условий задачи. Понятие об обратимых задачах. Примеры исследования постановок граничных условий для гиперболических систем.
§ 17. Критерии компактности сеточных функций.............. 211
Сеточные функции и правила их интерполяции — распространения на всю область, покрытую сеткой. Оценки квадратичных интегралов от проинтерполированных функций через сеточные суммы. Применение критерия компактности. Дифференцируемость пределов и оценки непрерывности пределов и их производных.
§ 18. Разностная схема и основная теорема об оценке ее решений .... 224
Описание разностной схемы и разностных граничных условий. Предположения относительно начальных данных. Три леммы об оценках разностных решений. Эти оценки аналогичны неравенствам, вытекающим из интегралов энергии. Доказательство и формулировка основной теоремы об оценке разностных решений.
§ 19. Оценки разностных отношений и компактность приближенных решений........................... 241
Расширение разностных уравнений. Первый шаг — включение уравнений для разностных отношений по у и по t и приведение граничных условий у расширения к диссипативному виду. Начальные данные и их распространение на расширенную систему. Оценка квадратичных сумм разностных отношений по у и по t через начальные данные. Использование разностных уравнений для оценки сумм, содержащих разностные отношения по л:. Уравнения и оценки для таких отношений, помноженных на множитель, аннулирующийся вблизи границ. Исследование компактности сеточных функций, которая следует из всех полученных оценок.
§ 20. Теорема существования решения смешанной задачи......... 257
Следствия из компактности сеточных функций о характере пределов их подпоследовательностей. Выполнение для этих пределов дифференциальных уравнений и граничных условий. Формулировка доказанной теоремы существования и замечания о следствиях из ее доказательства. Формулировка теоремы существования в одномерном случае. Неравенства для решений и их производных. Замечания к одномерной теореме существования: 1) отказ от дисси-пативности граничных условий, 2) случай коэффициентов, не зависящих от времени, 3) теорема существования задачи Коши внутри характеристического треугольника.
Глава III. Уравнение Лапласа........................ 267
§ 21 Свойства гармонических функций................... 267
Инвариантность уравнения Лапласа и интеграла Дирихле относительно конформных преобразований плоскости. Две теоремы о среднем арифметическом для гармонических функций. Следствие — оценка гармонической функции
в центре круга через интеграл ее квадрата. Из сходимости последовательности гармонических функций в среднем вытекает равномерная сходимость в некоторой подобласти. Решение задачи Дирихле в круге бесконечно дифференцируемо во всех внутренних точках. Оценка его производных в центре круга. Теорема Гарнака о равномерной сходимости и о гармоничности предела Сходимость производных во внутренних точках. Неравенство Гарнака для неотрицательных гармонических функций. Теорема Лиувилля Усиленный принцип максимума. Теорема о разрывной мажоранте. Устранимые особенности.
§ 22. Вариационный принцип Дирихле................... 276
Формула для вычисления интеграла Дирихле гармонической в круге функции по коэффициентам Фурье граничных значений. Пример непрерывной в круге гармонической функции, имеющей бесконечный интеграл Дирихле. Неравенство для интегралов Дирихле двух функций, принимающих на границе круга одинаковые значения, одна из которых гармоническая. Пример Адамара непрерывной на границе круга функции, которая не может быть продолжена внутрь с конечным интегралом Дирихле. Вариационный подход к задаче Дирихле. Некоторые исторические замечания. Пример неразрешимой вариационной задачи. Единственность экстремальной функции. Принцип Дирихле для круга и для простейших областей, полученных из него конформными преобразованиями.
§ 23 Метод Шварца ............................. 289
Альтернирующий метод Шварца доказательства существования решения задачи Дирихле для составных областей. Критерий Шварца. Формулировка теоремы и ее доказательство. Использование метода Шварца для обоснования принципа Дирихле. Пример получения теоремы существования решения задачи Дирихле и принципа Дирихле в неодносвязном многоугольнике. Проверка критерия Шварца с помощью геометрического «условия луночки». Схема доказательства принципа Дирихле и разрешимости задачи Дирихле для любых многоугольных областей.
§ 24. Задача Гильберта для уравнений Коши — Римана в круге ..... 299
Постановка и примеры. Индекс граничного условия. Нормировка (регуляризация) граничного условия в задаче Гильберта. Теорема существования решения в случае неотрицательного индекса граничного условия. Исследование неединственности при положительном или нулевом индексе граничных условий. Бдинственность и условия разрешимости при отрицательном индексе. Задача с косой производной и ее сведение к задаче Гильберта. Задача Неймана. Индекс задачи и индекс граничных условий. Понятие об индексе для системы линейных алгебраических уравнений.
§ 25. Некорректные задачи...................... , . . . 308
Обсуждение возможности решения некорректных задач на примере задачи Коши для периодических решений уравнения Лапласа. Разложение этих решений в ряд Фурье. Логарифмически выпуклые функции и получение с их помощью неравенств для гармонических функций. Условная корректность в классе ограниченных решений. Регуляризация приближений для начальных данных и отыскание решения некорректной задачи, ограниченного известной константой.
Глава IV. Преобразование Лапласа и метод Фурье для гиперболических систем..................... 320
§ 26. Система обыкновенных дифференциальных уравнений........ 320
Изучение формул для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений о постоянными коэффициентами при помощи соображений, которые
будут использоваться для обоснования метода Фурье. Интеграл Дюамеля и преобразование Лапласа Частотная характеристика Формулировка теоремы об обращении преобразования Лапласа и ее применение для представления решения в виде суммы экспонент.
§ 27. Теорема об обращении преобразования Лапласа........... 328
Формулировка теоремы об обращении преобразования Лапласа и ее обобщения на растущие (не слишком быстро) функции. Первые три леммы и вытекающие из них следствия приводят к важному тождеству с тригонометрическим интегралом. Обсуждается характер остаточного члена в этом тождестве. Окончание доказательства теоремы
§ 28. Преобразование Лапласа для решений гиперболической системы 334
Описание постановки обратимых смешанных задач для гиперболической системы. Существование решений и оценки для них изучались в § 20. Преобразование Лапласа К) решения при достаточно больших Re Л. Его аналитичность. Обыкновенные дифференциальные уравнения, которым оно удовлетворяет. Оценки. Использование обратимости. Изложение схемы дальнейшего изучения. Основные свойства А), которые будут обоснованы в следующих параграфах, и получение с их помощью формулы обращения, содержащей интеграл по замкнутому контуру.
§ 29. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений 344
Асимптотические (по к) формулы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с преобразованием Лапласа. Эти формулы получаются из явных представлений решений системы, содержащей два независимых уравнения. Последующие леммы постепенно приводят к все более и более сложному характеру зацепления уравнений.
§ 30. Собственные функции краевой задачи................. 351
§ 31. Полнота системы собственных функций................ 361
Напоминание доказанных в предыдущих параграфах фактов о свойствах аналитических функций от λ и о приближенном представлении решения смешанной задачи контурным интегралом. Вычисление отдельных вычетов. Решение приближается суммой конечного числа «стоячих волн». Видоизменения в случае кратных полюсов. Замечание о возможности распространения теории на системы, не приведенные к каноническому виду. Теорема о полноте собственных функций. Примеры, показывающие существенность обратимости задачи для применимости метода Фурье.
§ 32. Ряд Фурье для консервативной системы............... 369
Консервативная гиперболическая задача для системы из двух уравнений. Интеграл энергии для вещественных и комплексных решений. Комплексные евклидовы пространства, натянутые на собственные вектор-функции. Унитарность преобразования, связанного со сдвигом времени. Свойства унитарных преобразований. Вывод из этих свойств ортогональности собственных функций и доказательство того, что λ чисто мнимы. Использование ортогональности при приближении начальных данных «стоячими волнами». Формула для коэффициентов в разложении решения в ряд Фурье. Пример.
§ 33. Самосопряженная система второго порядка.............. 377
Ее сведение к симметричной системе первого порядка. Эта система консервативна. «Кинетическая» и «потенциальная» энергия для решений этой системы. Собственные вектор-функции и собственные значения соответствующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Собственные функции ортогональны как в «потенциальной» метрике, так и в «кинетической». Формулы для приближенного решения задачи. Замечания о методе Ритца.
Литература.................................. 389
Предметный указатель............................ 390
