Гюнтер Н. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. - М.: ГИТТЛ, 1953.
Настоящая книга является переводом книги Н. М. Гюнтера „La theorie du potentiel et ses applications aux ргоЫёmes fondamentaux de la physique mathematque", вышедшей в 1934 г. в Париже. Эта книга возникла из работ специального семинара по теории потенциала, который Н. М. Гюнтер проводил в начале двадцатых годов в Ленинградском университете.
Теория потенциала и связанные с ней вопросы математической физики уже с начала XIX века были в центре внимания математиков. Но до самого конца XIX века не было проведено строгого исследования свойств различных потенциалов, и тем самым имелся целый ряд необоснованных моментов при применении теории потенциала к предельным задачам математической физики. С другой стороны до конца XIX века не было сколько-нибудь отчётливых и глубоких результатов, касающихся свойств решений этих задач при приближении к границе.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..........................................7
Глава I. Вспомогательные теоремы
§ 1. О границах областей................................11
§ 2 О функциях, определенных внутри области..........17
§ 3. Теорема Гюгонио—Адамара. Дифференцирование функций, заданных на поверхности.......21
§ 4. Конечное покрытие поверхности....................26
§ 5. Формулы Остроградского и Стокса ................27
§ 6. Замечание об интегрировании неограниченных функций............................32
§ 7. О гармонических функциях .............38
§ 8. Тождества Грина..................................40
§ 9. Интеграл Гаусса............................49
§ 10. Другое доказательство формулы Гаусса..............52
Глава II. Теория потенциала
§ 1. Потенциал простого слоя..............55
§ 2. Непрерывность потенциала простого слоя............ой
§ 3. Три теоремы о потенциале двойного слоя............63
§ 4. О нормальной процзвоаной потенциала простого слоя 74
§ 5. Непрерывность нормальной производной потенциала простого слоя................77
§ 6. Теорема о нормальной производной потенциала простого слоя..........................81
§ 7. О производных потенциала простого слоя..........84
§ 8. Производные потенциала простого слоя с дифференцируемой плотностью..................87
§ 9. Нормальная производная потенциала двойного слоя 89
§ 10. Производные потенциала двойного слоя с дифференцируемой плотностью................91
§ 11. О сходимости некоторых интегралов ..............95
§ 12. О ньютоновом потенциале..........................96
§ 13. О первых производных ньютонова потенциала ... 100
§ 14. О существовании вторых производных ньютоиова потенциала....................104
§ 15. Теорема Пуассона.................110
§ 16. О непрерывности вторых производных ньютонова потенциала.....................113
§ 17. Производные ньютонова потенциала с дифференцируемой плотностью.................115
§ 18. Классы функций Н (I, Л, X) и поверхности Лк ....... 118
§ 19. Потенциалы простого и двойного слоя для Лk ......... 123
§ 20. Ньютонов потенциал в области, ограниченной поверхностью Л.....................127
§ 21. Прямые значения потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя на Лк................129
§ 22. Замечания о потенциалах класса С........—
§ 23. Потенциалы простого и двойного слоя с суммируемой плотностью..............131
§ 24. Ньютонов потенциал с суммируемой плотностью . . 141
Глава III. Задачи Неймана и Робэна
§ 1. Постановка задачи Неймана............v147
§ 2. Замена задачи А другой задачей..........
§ 3. Формальное решение уравнения (В)........152
§ 4. Исследование итерированных ядер.........155
§ 5. Фактическое решение уравнения (В)........159
§ 6. Вспомогательная теорема..............160
§ 7. Доказательство теорем § 5.............167
§ 8. Условие, необходимое для того, чтобы ζ = 1 не было полюсом......................171
§ 9. Достаточность найденных условий.........174
§ 10. Решение внутренней задачи Неймана........179
§ 11. Решение внешней задачи Неймана для случая (Е) и для обыкновенного случая.............184
§ 12. Фундаментальные функции полюса С = 1 и задача Робэна для обыкновенного случая..........—
§ 13. Фундаментальные функции полюса С = 1 и задача Робэна для случая (J)...............189
§ 14. Фундаментальные функции полюса С=1 и задача Робэна для случая (Е)...............193
§ 15. Исследование полюса ζ= ——1 для случая (J) . . . . 196
§ 16. Внешняя задача Неймана для случая (J)......201
§ 17. Фундаментальные функции полюса ζ= ——1 для случая (J) .......................202
§ 18. Замечание о принадлежности решения задачи Неймана к классу ..............203
§ 19. О единственности решения задачи Неймана.....208
Глава IV. Задача Дирихле
§ 1. Постановка задачи Дирихле............213
§ 2. Замена задачи А Другой задачей..........215
§ 3. Формальное решение задачи С...........216
§ 4. Фактическое решение задачи С ..........218
§ 5. Некоторые замечания об ядре .......220
§ 6. Доказательство предложений § 4..........222
§ 7. Две леммы, относящиеся к уравнению с ядром Kn(h 0).........229
§ 9. Следствия из лемм ...............238
§ 10. Решение внутренней задачи Дирихле для случая (Е) и для обыкновенного случая........239
§ 11. Исследование полюса С=1 для случая (Е) и для обыкновенного случая...............240
§ 12. Истолкование условий (42).....................243
§ 13. Решение внешней задачи для случая (Е)......244
§ 14. Случай (J). Исследование условия: ζ= ——1 не полюс ......247
§ 15. Решение задачи с условиями (53); значение этих условий......................249
§ 16. Решение внутренней задачи Дирихле для случая (J) ......251
§ 17. Внешняя задача для случая (J)...........253
§ 18. Замечание о принадлежности решения задачи Дирихле к классу Н (t, А, X).............257
Глава V. функции Грина и их приложения
§ 1. Функция Грина и ее основные свойства......261
§ 2. Решение задачи Дирихле для одного частного случая.......................264
§ 3. Лемма Ляпунова..................266
§ 4. Решение задачи Дирихле в общем случае.....268
§ 5. Функция Ф. Неймана и ее свойства.........271
§ 6 Решение задачи Неймана . . . .........277
§ 7. Задача о стационарной температуре .......278
§ 8. Функция Грина в задаче о стационарной температуре 285
§ 9. Функция Грина и уравнение Пуассона.......287
§ 10 Задачи» относящиеся к уравнению ...................298
§ 11. Лемма ..........................304
§ 12. Замечания относительно полюсов решения интегрального уравнения.............307
§ 13. Замкнутость последовательности фундаментальных функций в некотором частном функциональном пространстве ........................310
§ 14. Замкнутость последовательности фундаментальных функций......................314
§ 15. О разложении по фундаментальным функциям .... 317
§ 16. Функции А Корна.................321
§ 17. Интегрирование волнового уравнения.......324
§ 18. О тепловой задаче ....................331
§ 19. Замечание о задачах, связанных с лапласианом ..................................335
§ 20. Замечание о решении уравнения Пуассона и фундаментальных функциях...............336
Дополнения
I. Теорема Ляпунова о первых производных потенциала простого слоя, плотность которого правильно непрерывна ........................341
II. Теоремы Ляп} нова относительно нормальной производной потенциала двойного слоя............350
III. Теорема о вторых производных ньютонова потенциала 366
IV. Прямые значения потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя на Лк . . 373
Биографический очерк ........ ............393
Список научных трудов...................406
