Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений в частных производных первого порядка. - Л.-М.: ОНТИ, 1934.
Основанием этого курса служат лекции, читанные мною в Ленинградском университете в 1921/22 и 1928/29 годах, а также лекции, прочитанные мною там же небольшому кружку студентов весною 1931 года, на которых было изложено содержание последних трех глав почти в том виде, в каком они находятся в курсе.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................3
Введение
Некоторые теоремы из теории обыкновенных уравнений.
1. Существование решений у системы уравнений..................11
2. Собрание общих решений и собрание интегралов................12
3. Преобразование системы в симметрическую......................14
4. Об одном свойстве интегралов системы........................—
5. Две основные теоремы........................................16
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. Линейные уравнения в частных производных и системы линейных уравнений.
Глава первая. Линейное уравнение в частных производных.
6. Определение.....................................18
7. Интегрирование однородного уравнения........................19
8. Задача Коши...........................................20
9. Особый случай задачи Коши ..................................24
10. Общая задача Коши.........................25
11. Характеристические линии........................................27
12. Примеры...................................29
13. Уравнение с последним членом..................................32
14. Решения обыкновенное и особенное............................34
15. Характеристические Ливии......................................36
16. Задача Коши..................................................37
17. Примеры......................................................38
18. Особые случаи задачи Коши..........................43
19. Особенные решения линейного уравнения......................49
Глава вторая. Системы линейных однородных уравнений в частных производных.
20. Замечания общего характера....................................55
21. Замечания о линейных операторах....................56
22. Скобка Пуассона..............................57
23. Замкнутые системы............................60
24. Якобиева система..............................................62
25. Две теоремы о замкнутых системах..............................—
26. Нормальная система уравнений ................................64
27. О якобиевых системах......... ........................66
28. Метода Якоби............................—
29. Примеры......................... 71
30. Задача Коши..................................................76
31. Исследование более общего случая..............................80
32. Сбщий случай задачи Коши....................................82
33. Характеристическсе многообразие ...........................—
34. Метода Коши ...........................................86
35. Подстановка Мвйера . .. ...............................89
36. Нахождение одного решения системы............................91
Глава третья. Система линейных неоднородных уравнений в частных производных.
37. Скобки Якоби.........................................94
38. Замечание о скобках Якова . . .............................97
39. Случай линейных выражений..................................99
40. Система неоднородных уравнений..............................100
41. Замкнутая система.......... ......................101
42. Задача о нахождении не особенных решений....................102
43. Замкнутость системы, дающей не особенные решения............104
44. Интегрирование замкнутой системы............................103
45. Особые случаи задачи Коши....................................111
46. Характеристическое многообразие..............................116
47. Нахождение особенных решений................................117
Глава четвертая. О системах уравнений в полных дифференциалах.
48. Постановка задачи . . ..............................123
49. Необходимые условия возможности задачи......................124
50. Достаточность найденных условий..............................126
51. Решение задачи Коши..........................................128
52. Равносильность задач о замкнутых системах и о системах в полных дифференциалах..........—
53. Интегрирование системы (3). Метод, аналогичный методе Якоби . 129
54. Интегрирование системы (3). Метод, аналогичный методе Коши . 131
55. Примеры......................................................133
56. Уравнения характеристических многообразий системы линейных уравнений ..............135
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. Нелинейные уравнения первого порядка. Глава пятая. О полном интеграле Лагранжа.
57. Основные определения..........................................138
58. Примеры......................................................142
59. Нахождение по полному интегралу решений уравнения..........143
60. Об общем интеграле...................................148
61. Характеристическая линия (случай двух независимых переменных) 151
62. Уравнения характеристических линий............................155
63. Интегральный элемент............................157
64. Интеграл М(1)................................................160
65. Интеграл М(2)................................................162
66. Задача Коши..................................................—
67. Исключительные случаи задачи Коши............................164
68. Примеры......................................................166
69. Характеристические линии в общем случае ....................171
70. Уравнения характеристических Линий.........................174
71. Интегральный элемент......................................176
72. Интеграл..............................................178
73. Интеграл М(n)................................................181
74. Задача Коши................................................182
75. Исключительные случаи задачи Коши..........................184
76. Примеры....................................187
77. Задачи, отличные от задачи Коши ...........................189
78. Преобразование уравнения в не содержащее неизвестной функции .....192
79. Задача интегрирования уравнения . ...........................193
Глава шестая. Первая метода Якоби.
80. Теорема Якоби..................................193
81. Теорема об интегрировании системы ...........................195
82. Теорема об интегрировании уравнения..........................198
83. Примеры. Интегрирование уравнений динамики системы..........202
84. Замечание об интегралах системы (6)..................208
85. Случай, когда Н однородная функция первого измерения от аргументов ..............209
86. О характеристических линиях уравнения (5)....................210
87. Интегрирование уравнения первого порядка общего вида .... 211
88. Уравнения характеристических линий уравнения (1)..............214
89. Случай, когда f однородная функция от производных............217
Глава седьмая. Метода Коши или метода характеристических линий.
90. Восстановление решения по данному многообразию на нем ........ 219
91. Характеристики и характеристические линии....................222
92. Характеристические линии, проходящие через интегральный элемент ............225
93. Особенные решения уравнения..................................227
94. Задача Коши..................... . . . —
95. Установление действительности процесса § 94 ....................229
96. Обозрение исключительных случаев......................232
97. Характеристический случай......................................235
98. Задачи, отличные от задачи Коши..............................238
99. Примеры......................................................239
Глава восьмая. Интегрирование системы уравнений первого порядка.
100. Замечания алгебраического характера о системах ........ 242
101. О замкнутых системах..............................243
102. Нормальная система из т уравнений....................245
103. Частный случай . . .......................249
104. Метода Лаграижа—Шарпи интегрирования уравнения с двумя независимыми переменными.......250
105. Частный случай m= n+l....................................253
106. Теорема Коши................................................256
107. Решение задачи Коши..........................................259
103. Подстановка Майера............................................261
109. Пример......................................................262
110. Преобразование системы в не зависящую от .....................264
Глава девятая. О полном интеграле Лаграижа в случае еистемы уравнений.
111. Основные определения..........................................264
112. Примеры. Метода отделения переменных........................267
113. Нахождение решений по полному интегралу......... . 270
114. Характеристическое многообразие..............................272
115. Интегральный элемент...... ..........................277
116. Интеграл ............................................279
117. Задача Коши............... ...............280
118. Уравнения для многообразия Сm. .............................282
119. Обобщение методы Коши на случай системы....................287
120. Примеры......................................................291
121. Обобщение первой методы Якоби на случай системы............293
122. Обобщенная теорема Якоби....................................296
Глава десятая. Вторая метода Якоби.
123. Система в инволюции..........................................300
124. Вторая метода Якоби..........................................301
125. Нахождение состоящих в инволюции интегралов системы характеристических многообразий........302
126. Лемма........................................................303
127. Преобразование Лежандра......................................307
128. Дополнение второй Якобневой методы..........................308
129. Примеры......................................................312
130. Система уравнений, зависящих от неизвестной функции..........313
131. Распространение второй методы Якоби иа замкнутые системы, зависящие от неизвестной функции....314
132. Дополнение к распространенной методе Якоби..................318
133. Нахождение состоящих в инволюции интегралов системы характеристических многообразий........323
Глава одиннадцатая. О полном интеграле С. Ли
134. Интеграл М(n)................................................325
135. Полный интеграл М(n)...................327
136. Условие, что данное полный интеграл....................331
137. Нахождение полного интеграла Лагранжа по полному интегралу М(n)....................332
133. Некоторые обобщении.............................335
139. Первый случай обобщенной системы ..........................336
140. Второй случай обобщенной системы............................338
141. Нахождение полного интеграла данной системы. Предварительные замечания.............341
142. Первый случаи обобщенной системы............................341
143. Второй случай обобщенной системы............................343
144. Метода Коркина................................................347
145. Замечание о методе Коркина в ее первоначальной редакции .......354
146. Метода Коркина в случае самой общей системы........ 357
