Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций (Обобщенные функции, выпуск 2).- М., 1958.
Этот выпуск посвящен дальнейшему углублению и развитию теории обобщенных функций, в частности перенесению техники действий с обобщенными функциями, развитой в первом выпуске, на широкие классы пространств. Базой для этого является изложенная в гл. I теория счетно-нормированных пространств.
Пространства, которые строятся и изучаются в следующих главах, используются в третьем выпуске, посвященном некоторым приложениям теории обобщенных функций к дифференциальным уравнениям. Настоящий выпуск рассчитан в первую очередь на математиков, хотя могут читать его и не только математики. Для его чтения желательно знакомство с началами функционального анализа. Этот выпуск в основном можно читать независимо от первого.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.......................... 7
Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определение линейного топологического пространства 12
1. Система аксиом линейного топологического пространства (12). 2. Задание топологии с помощью окрестностей нуля (20). 3. Примеры (22).
§ 2. Нормированные пространства. Сравнимость и согласованность норм ..................... 23
1. Основные определения (24). 2. Сравнимые и согласованные нормы (25).
§ 3. Счетно-нормированные пространства......... 27
1. Определение (27). 2. Условие полноты (30). 3. Примеры (32). 4. Счетно-нормированное пространство как линейное метрическое пространство (34). 5. Условия нормируемости счетно-нормированных пространств (39). 6. Сравнимые и эквивалентные системы норм (42). 7. Ограниченные множества в счетно-нормированном пространстве (44). 8. Ограниченные множества в общих пространствах (45).
§ 4. Линейные непрерывные функционалы и сопряженное пространство ................... 47
1. Определение (48). 2. Вопрос о существовании линейных непрерывных функционалов (50). 3. Сопряженное пространство (50). 4. Связь между непрерывностью линейного функционала и его ограниченностью на ограниченных множествах (54). 5. Характеристика ограниченного множества в счетно-нормированном пространстве (56).
§ 5. Топология в сопряженном пространстве....... 57
1. Сильная топология (58). 2. Сильно ограниченные множества (61). 3. Сильцо ограниченные множества в пространстве, сопряженном к счетно-нормированному (63). 4. Слабая топология (64). 5. Слабо ограниченные множества (66). 6. Теорема о полноте пространства, сопряженного к счетно-нормированному, относительно слабой сходимости (67). 7. Слабая и сильная топологии в исходном пространстве (69).
§ 6. Совершенные пространства.............. 73
1. Основное определение (73). 2. Условие совершенства счетно-нормированного пространства (74). 3. Совпадение сильной и слабой сходимости (76). 4. Слабая и сильная сходимость в сопряженном пространстве (77). 5. Ограниченные множества в сопряженном пространстве (78).
§ 7. Линейные непрерывные операторы.......... 81
1. Определение (81). 2. Теорема об обратном операторе (83). 3. Действия с линейными операторами (85). 4. Последовательности операторов (86). 5. Сопряженный оператор (87).
§ 8. Объединения счетно-нормированных пространств . . 89
1. Определение (89). 2. Ограниченные множества и линейные функционалы (90). 3. Линейные операторы (92).
Добавление 1. Элементы, функционалы, операторы, зависящие от параметра.................. 94
1. Абстрактные функции (94). 2. Дифференцируемые абстрактные функции (96). 3. Операторы, зависящие от параметра (97). 4. Интегрирование непрерывных абстрактных функций по параметру (100).
Глава II. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение основных и обобщенных функций ... 101
1. Основные функции (101). 2. Примеры (102). 3. Соотношения между сходимостями (104). 4. Дальнейшие примеры (105). 5. Определение обобщенной функции (107).
§ 2. Топология в пространствах К{Мр} и Z{Mp}.....112
1. Вводные замечания (112). 2. Пространство К{Мр} как полное счетно-нормированное пространство (115). 3. Условие совершенства пространства К {Мр} (118). 4. Эквивалентные системы норм (122). 5. Финитные функции в пространстве К{Мр} (123). 6. Пространства Z {Мр} (124).
§ 3. Действия с обобщенными функциями........126
1. Линейные операции и предельный переход (126). 2. Умножение на функцию (128). 3. Деление единицы на многочлен в пространстве Z' (130). 4. Дифференцирование (135).
§ 4. Структура обобщенных функций...........138
1. Структура обобщенных функций в пространстве К{Мр} (138). 2. Упрощение записи в пространствах с условием (АГ) (140). 3. Случаи пространств К и S (143). 4. Структура финитных функционалов (145). 5. Структура функционала, сосредоточенного в точке (149). 6. Пример: решение уравнения Лапласа со степенной особенностью (150).
Глава III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Преобразования Фурье основных функций......152
1. Операторы Фурье на пространстве 5 (153). 2. Операторы Фурье на пространствах К и Z (156). 3. Общий случай (157).
§ 2. Преобразования Фурье обобщенных функций .... 158
1. Основное определение (158). 2. Преобразование Фурье финитного функционала (161). 3, Структура обобщенных функций в пространстве Z (а) (163). 4. Преобразования Фурье и дифференциальные уравнения (164).
§ 3. Свертка обобщенных функций и ее связь с преобразованиями Фурье...................167
1. Операция сдвига (167). 2. Определение свертки (168). 3. Дифференцирование свертки (170). 4. Финитные функционалы как свертыватели (173). 5. Теорема о непрерывности свертки (175). 6. Гармонические функционалы (176). 7. Преобразование Фурье и свертка (179). 8. Преобразование Гильберта (183).
§ 4. Преобразования Фурье целых аналитических функций 186
1. Основная теорема о преобразовании Фурье целой функции 1-го порядка (187). 2. Явное выражение преобразования Фурье целой функции 1-го порядка (189). 3. Обратная теорема (191). 4. Случай целой функции с интегрируемым квадратом (193). 5. Случай целой функции степенного роста (195).
Глава IV. ПРОСТРАНСТВА ТИПА S
§ 1. Введение.......................199
§ 2. Различные формы определения пространств типа 5 203
1. Пространство Sа (203). 2. Пространство S (206). 3. Пространство Si (210).
§ 3. Топологическая структура основных пространств . . 211
1. Пространство Sа как объединение счетно-нормированных пространств (211). 2. Пространство S^ как объединение счетно-нормированных пространств (214). 3. Пространство 51 как объединение счетно-нормированных пространств (217). 4. Пространства SА и SB (220)
§ 4. Простейшие ограниченные операции в пространствах типа S.........................220
1. Операция умножения на х (221). 2. Умножение на бесконечно дифференцируемую функцию (222). 3. Операция сдвига (227). 4. Операция растяжения (229).
§ 5. Дифференциальные операции............230
1. Операция (230). 2. Дифференциальные операторы бесконечного порядка (231).
§ 6. Преобразования Фурье................234
1. Общая теорема (235). 2. Преобразования Фурье пространств типа S (239).
§ 7. Целые аналитические функции как элементы или мультипликаторы в пространствах типа S......246
1. Сводка результатов (246). 2. Теорема Фрагмена — Линделёфа (250). 3. Теорема о существовании области G (252).
4. Поведение целой функции в плоскости при (256).
5. Оценка производных целой функции на оси по ее поведению в плоскости (259). 6. Оценка производных на оси при fx < 0. (264).
§ 8. Вопрос о нетривиальности пространства типа S . . . 266
§ 9. Случай нескольких независимых переменных ... . 281
Добавление 1. Обобщения пространств типа ......288
Добавление 2. Пространства типа W...........292
Примечания и литературные указания..........299
