Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. - М., 1990.
Излагаются основы нового подхода к исследованию симметрии уравнений математической и теоретической физики. - Систематически изучаются симметрийные свойства основных уравнений движения релятивистской и нерелятивистской квантовой физики, описывается как классическая симметрия этих уравнений, так и новые операторы симметрии и интегралы движения.
Исследуются релятивистские и галилеевски инвариантные уравнения движения частицы произвольного спина во внешнем электромагнитном поле, получены точные решения ряда задач о движении таких частиц в полях специальных конфигураций.
Подробно излагается теория представлений групп Галилея и Пуанкаре, а также обобщенных групп Пуанкаре Р(1,п), рассматриваются различные физические приложения этих представлений.
Для научных работников в области математики и физики, а также аспирантов и студентов старших курсов соответствующих специальностей.
Содержание
Предисловие 3
Введение 5
Глава 1. Локальная симметрия основных уравнений релятивистской 7 квантовой теории
§1.1. Локальная симметрия уравнения Клейна — Гордона — Фока 7
1.1.1. Введение (7). 1.1.2. Алгебра инвариантности уравнения КГФ (10). 1.1.3. Симметрия уравнения КГФ для безмассового поля (12). 1.1.4. Преобразования Лоренца (13). 1.1.5. Группа Пуанкаре (16). 1.1.6. Конформные преобразования (19). 1.1.7. Дискретные преобразования симметрии (21).
§ 1.2. Локальная симметрия уравнения Дирака 22
1.2.1. Уравнение Дирака (22). 1.2.2. Различные представления уравнения Дирака (23). 1.2.3. Алгебра матриц Дирака (25). 1.2.4. Операторы симметрии и алгебра инвариантности (25). 1.2.5. Алгебра инвариантности уравнения Дирака в классе дифференциальных операторов первого порядка (26). 1.2.6. Операторы массы и спина (29). 1.2.7. Явно эрмитова форма базиса а. и. уравнения Дирака (30). 1.2.8. Симметрия безмассового уравнения Дирака (31). 1.2.9. Преобразования Лоренца и конформные преобразования решений уравнения Дирака (32). 1.2.10. Преобразования Р, Т и С (34).
§ 1.3. Уравнения Максвелла 36
1.3.1. Введение (36). 1.3.2. Различные формулировки уравнений Максвелла (37). 1.3.3. Уравнение для вектор-потенциала (39). 1.3.4. Алгебра инвариантности уравнений Максвелла в классе (40). 1.3.5. Преобразования Лоренца и конформные преобразования векторов Е, Н и четырехвектора тока (42). 1.3.6. Симметрия относительно преобразований Р, Г и С (45).
§ 1.4. Алгебра Ли конформной группы 46
1.4.1. Конформная алгебра и алгебра АО(2, 4) (46). 1.4.2. Представление конформной алгебры на множестве решений уравнения Вейля (47). 1.4.3. Представление конформной алгебры, соответствующее полю с произвольным дискретным спином (49). 1.4.4. Ковариантные представления алгебры АР(1, 3) (50). 1.4.5. Ковариантные представления конформной алгебры (51). 1.4.6. Конформные преобразования для поля произвольного спина (53).
Глава 2. Представления алгебры Пуанкаре и волновые уравнения для произвольного спина 54
§ 2.1. Неприводимые представления алгебры Пуанкаре 54
2.1.1. Введение (54). 2.1.2. Операторы Казимира (54). 2.1.3. Базис неприводимого представления (57). 2.1.4. Определение общего вида вектора Любанского — Паули (58). 2.1.5. Представления алгебры А(сi,n) (60). 2.1.6. Неприводимость представления алгебры Пуанкаре (63). 2.1.7. Связь с каноническими реализациями Широкова — Фолди — Мозеса (65). 2.1.8. Ковариантные представления (68).
§ 2.2. Представления операторов дискретной симметрии 70
2.2.1. Введение (70). 2.2.2. Неэквивалентные мультипликаторы группы G8 (72). 2.2.3. Общий вид операторов дискретной симметрии (74).
2.2.4. Операторы Р, Т и С в пространстве представлений I класса (76).
2.2.5. Представления II класса (79). 2.2.6. Представления III — V классов (80).
§ 2.3. Пуанкаре-инвариантные уравнения первого порядка 84
2.3.1. Введение (84). 2.3.2. Условия релятивистской инвариантности уравнения (2.3.2) (85). 2.3.3. Явный вид матриц р (87). 2.3.4. Дополнительные ограничения для матриц (88). 2.3.5. Уравнение Кеммера — Деффина — Петье (КДП) (90). 2.3.6. Уравнение Дирака — Фирца — Паули для спина 3/2 (91). 2.3.7. Преобразование к форме Шредингера (93).
§ 2.4. Пуанкаре-инвариантные уравнения без лишних компонент 97
2.4.1. Введение (97). 2.4.2. Постановка задачи (97). 2.4.3. Явный вид гамильтонианов (101). 2.4.4. Дифференциальные уравнения движения для спиновых частиц (105). 2.4.5. Связь с каноническим представлением Ю. М. Широкова (107).
§ 2.5. Уравнения для частиц произвольного спина в форме Дирака 110
2.5.1. Ковариантные уравнения с коэффициентами, образующими алгебру Клиффорда (110). 2.5.2. Уравнения с минимальным числом компонент (111). 2.5.3. Связь с уравнениями без лишних компонент (113). 2.5.4. Лагранжева формулировка (114). 2.5.5. Уравнения в форме Дирака как универсальная модель частицы произвольного спина (115).
§ 2.6. Уравнения для безмассовых полей 118
2.6.1. Основные определения (118). 2J5.2. Теоретико-групповой вывод уравнений Максвелла (119). 2.6.3. Конформно-инвариантные уравнения для полей произвольного спина (121). 2.6.4. Уравнения типа Вейля (122). 2.6.5. О других типах уравнений для безмассового поля (125).
Глава 3. Негеометрическая симметрия 127
§ 3.1. Негеометрическая симметрия уравнения Дирака 127
3.1.1. Основные определения (127). 3.1.2. Алгебра инвариантности уравнения Дирака в классе <ЗП1 (129). 3.1.3. Симметрия уравнения Дирака в классе интегро-дифференциальных операторов (133). 3.1.4. Восьмикомпонентное уравнение Дирака (135). 3.1.5. Симметрия уравнения (3.1.34) (136). 3.1.6. Симметрия уравнения Дирака относительно линейных и антилинейных преобразований (137). 3.1.7. Полный набор операторов симметрии уравнения Дирака в классе (140). 3.1.8. Симметрия уравнения Дирака для безмассовой частицы (144).
§ 3.2. Симметрия релятивистских уравнений для частиц произвольного спина 149
3.2.1. Симметрия уравнения Кеммера — Деффина — Петье (149).
3.2.2. Симметрия уравнений типа Дирака для произвольного спина (153). 3.2.3. О дополнительной симметрии релятивистских волновых уравнений в произвольной формулировке (156).
§ 3.3. Негеометрическая симметрия уравнений Максвелла 159
3.3.1. Инвариантность относительно алгебры AGL(2, С) (159). 3.3.2. Другое доказательство теоремы 3.16 (161). 3.3.3. Группа негеометрической симметрии уравнений Максвелла (162). 3.3.4, Симметрия уравнений Максвелла в классе дифференциальных операторов второго порядка (164).
§ 3.4. Негеометричсская симметрия релятивистских уравнений для частиц, взаимодействующих с внешним полем 170
3.4.1. Введение (170). 3.4.2. Уравнение Дирака для частицы во внешнем поле (171). 3.4.3. Уравнения Максвелла с токами и зарядами (173). 3.4.4. Релятивистские уравнения для частиц произвольного спина (175). 3.4.5. Операторы симметрии уравнений для упругих волн (177).
§ 3.5. Законы сохранения и интегралы движения 179
3.5.1. Введение (179). 3.5.2. Законы сохранения для поля Дирака (182). 3.5.3. Законы сохранения для безмассового спинорного поля (183). 3.5.4. Классические интегралы движения электромагнитного поля (184). 3.5.5. Интегралы движения, обусловленные скрытой симметрией уравнений Максвелла (186).
Глава 4. Уравнения для взаимодействующих частиц произвольного спина 193
§ 4.1. Релятивистская частица произвольного спина во внешнем электромагнитном поле 193
4.1.1. Принцип минимального взаимодействия (193). 4.1.2. Введение взаимодействия в уравнения первого порядка (195). 4.1.3. Введение взаимодействия в уравнения типа Дирака (196). 4.1.4. Четырехкомпонентное уравнение для бесспиновых частиц (197). 4.1.5. Введение взаимодействия в уравнения без лишних компонент (198). 4.1.6. Разложение по степеням /т (199). 4.1.7. Причинность и волновые уравнения для частиц произвольного спина (202). 4.1.8. Уравнения для системы с переменным спином (204).
§ 4.2. Решение релятивистских волновых уравнений для частиц произвольного спина 206
4.2.1. Введение (206). 4.2.2. Свободное движение частиц (206). 4.2.3. Релятивистская частица с произвольным спином в однородном магнитном поле (211). 4.2.4. Частица с произвольным спином в поле плоской электромагнитной волны (214).
§ 4.3. Частица произвольного спина в поле Кулона 216
4.3.1. Разделение переменных в центральном поле (216) 432 Решение уравнений для радиальных функций (218). 4.3.3. Уровни энергии релятивистской частицы с произвольным спином в поле Кулона (220). 4.3.4. Шаровые спиноры (223). 4.3.5. Явный вид 0(3)-инвариантных матриц в базисе шаровых спиноров (226).
Глава 5. Обобщенные группы Пуанкаре 232
§ 5.1. Группа Р(1, 4) 232
5.1.1. Введение (232). 5.1.2. Алгебра Ли группы Р(1, п). Операторы Казимира (233). 5.1.3. Неэквивалентные представления тензора (234). 5.1.4. Базис неприводимого представления (237). 5.1.5. Явный вид базисных элементов алгебры АР(1, 4) (238). 5.1.6. Связь с другими реализациями (239).
§ 5.2. Представления алгебры АР(1, 4) в пуанкаре-базисе 243
5.2.1. Подгрупповая структура группы Р(1, 4) (243). 5,2.2. Пуанкаре-базис (243). 5.2.3. Редукция Р(1, 4) -> Р(1, 3) для представлений I класса (244). 5.2.4. Редукция Р(1, 4)-> Р(1, 2) (247). 5.2.5. Редукция представлений с с,=0 (249). 5.2.6. Редукция представлений IV класса (251). 5.2.7. Редукция Р(1, п) ->Р(1, 3) (252).
§ 5.3. Представления алгебры в базисах 256.
5.3.1. G(l, 3)-базис (256). 5.3.2. Представления с Рп Р>0 (257). 5.3.3. Представления II — IV классов (260). 5.3.4. Ковариантные представления алгебры АР(1, 4) (261). 5.3.5. £'(4)-базис (263). 5.3.6. Представления алгебры Пуанкаре в базисе G(l, 2) (264).
§ 5.4. Уравнения, инвариантные относительно обобщенных групп Пуанкаре 266
5.4.1. Вводные замечания (266). 5.4.2. Обобщенное уравнение Дирака (267). 5.4.3. Обобщенное уравнение Кеммера — Деффина — Петье (270). 5.4.4. Ковариантные системы уравнений (271). Глава 6. Представления алгебры Галилея и волновые уравнения для нерелятивистских частиц 274
§6.1. Симметрия уравнений Шредингера 274
6.1.1. Уравнение Шредингера (274). 6.1.2. Алгебра инвариантности уравнения Шредингера (275). 6.1.3. Алгебра Шредингера и алгебра Галилея (277). 6.1.4. Группа Шредингера (279). 6.1.5. Группа Галилея (281). 6.1.6. Преобразования Р и Т (283). 6.1.17. Симметрия квазирелятивистского уравнения эволюции (283).
§ 6.2. Представления алгебры Ли группы Галилея 285
6.2.1. Принцип относительности Галилея и уравнения квантовой механики (285). 6.2.2. Классификация неприводимых представлений (286). 6.2.3. Явный вид базисных элементов алгебры AG(1, 3) (287). 6.2.4. Связь с другими реализациями (299). 6.2.5. Копариантные представления (292). 6.2.6. Конечномерные представления алгебры Ли однородной группы Галилея (293).
§ 6.3. Галилеевски инвариантные волновые уравнения 298
6.3.1. Введение (298). 6.3.2. Условия галилеевской инвариантности уравнений (298). 6.3.3. Дополнительные ограничения на матрицы рк (300). 6.3.4. Общий вид матриц в базисе (301). 6.3.5. Уравнения минимальной размерности (303). 6.3.6. Уравнения для представлений с произвольным индексом нильпотентности (306).
§ 6.4. Уравнения в форме Шредингера, инвариантные относительно группы Галилея 308
6.4.1. Постановка задачи (308). 6.4.2. Гамильтониан нерелятивистской частицы произвольного спина (310). 6.4.3. Лагранжева формулировка (313).
§ 6.5. Нерелятивистская частица произвольного спина во внешнем электромагнитном поле 315
6.5.1. Уравнение Шредингера для спиновой частицы во внешнем электромагнитном поле (315). 6.5.2. Преобразование уравнений (6.5.1) к квазидиагональной форме (317). 6.5.3. Введение минимального взаимодействия в уравнения первого порядка (318). 6.5.4. Уравнения для (2s +1) -компонентной волновой функции (320). 6.5.5. Аномальное воздействие (323).
§ 6.6. Точные решения галилеевски инвариантных волновых уравнений 327
6.6.1. Вводные замечания (327). 6.6.2. Нерелятивистская частица в постоянном и однородном магнитном поле (327). 6.6.3. Нерелятивистская частица произвольного спина в скрещенных однородных электрическом и магнитном полях (329). 6.6.4. Нерелятивистская частица произвольного спина в поле Кулона (331).
Глава 7. Двухчастичные уравнения 335
§ 7.1. Двухчастичные уравнения, инвариантные относительно группы Галилея 335
7.1.1. Предварительные замечания (335). 7.1.2. Уравнения для бесспиновых частиц (336). 7.1.3. Уравнения для системы частиц с произвольным спином (340). 7.1.4. Двухчастичные уравнения первого порядка (341). 7.1.5. Уравнения для взаимодействующих частиц произвольного спина (343).
§ 7.2. Квазирелятивистские и пуанкаре-инвариантные двухчастичные уравнения 346
7.2.1. Предварительные замечания (346). 7.2.2. Уравнение Брейта (347). 7.2.3. Преобразование гамильтониана Брейта к квазидиагональной форме (348). 7.2.4. Уравнение Брейта для частиц равной массы (350). 7.2.5. Двухчастичные уравнения, инвариантные относительно группы Р(1, 6) (352).
§ 7.3. Точно решаемые модели двухчастичных систем 354
7.3.1. Нерелятивистская модель (354). 7.3.2. Релятивистская двухчастичная модель (355). 7.3.3. Решение двухчастичных уравнений (357). 7.3.4. Обсуждение спектра энергий двухчастичных моделей (359).
Дополнение 365
Список литературы 381
