Гурса Э. Курс математического анализа, том 1, часть 1. Производные и дифференциалы. Определенные интегралы

Гурса Э. Курс математического анализа, том 1, часть 1. Производные и дифференциалы. Определенные интегралы
Книга Э. Гурса „Курс математического анализа" уже приобрела у русских читателей заслуженную известность и признание. По объему это руководство является одним из наиболее полных в современной мировой математической литературе; в то же время излагаемые факты выбраны не по принципу энциклопедичности; выбор проникнут одной руководящей мыслью — дать необходимый материальна котором основывается разработка наиболее важных проблем современной науки. Книга уже принесла большую пользу нашей университетской учащейся молодежи как пособие для углубления обычного курса анализа и для самообразования; можно смело сказать, что она много способствовала повышению уровня нашей математической культуры. Прежние пере и оды сделаны — том I с первого и второго французских изданий, том И — со второго издания. За прошедшее с тех нор время автор подверг первый том своего курса значительной переработке, а во втором введены большие дополнения. Основной целью его была поставить новые издания на современный уровень развития математической мысли; достаточно указать, что за последние десятилетия основные понятия теории функций действительного переменного стали необходимым средством для обоснования анализа; дополнения касаются ряда вопросов, разработанных в последние десятилетия и настолько важных, что они должны найти свое место в учебнике; наряду с этим в изложение дифференциальной геометрии систематически введены гауссовы координаты. Естественно, редактор поставил своей целью дать эти новые факты и идеи в переводе. С другой стороны, Гурса исключил в новых изданиях ряд элементарных вопросов, как, например, систематическую теорию неопределенных интегралов, которые во Франции отнесены к курсу средней школы. Имея в виду нашего советского читателя, редактор не мог согласиться с такими сокращениями. Поэтому большая часть материалов старых изданий, пропущенная автором в последующем, все же включена в настоящий перевод. Для удобства читателя нумерация параграфов согласована с последними (том I, изд. 5-?, том И, изд. 5-е) французскими изданиями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. ВВЕДЕНИЕ.
I. Пределы. Множества.....................3
1. Пределы.......................................—
2. Сечения в области действительных чисел.....................—
3. Ограниченные множества................................13
4. Наибольший из пределов.................................16
5. Сходящиеся последовательности........................18
II. Функции. Общие понятия................................20
6. Определения..................................................—
7. Непрерывность................................................21
8. Свойство непрерывных функций................................22
9. Разрывные функции............................25
10. Монотонные функции..................................27
11. Функции с ограниченным изменением..........................28
12. Функции многих переменных..................................31
13. Непрерывные кривые..........................................34
Упражнения..................................................36
Глава II.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
I. Определения. Общие свойства ...............................37
14. Производные..................................—
15. Производные высших порядков................................39
16. Теорема Ролля.......................—
17. Формула конечных приращений................................40
18. Формула Тейлора............................................42
19. Частные производные..........................................46
20. Плоскость, касательная к поверхности ......................49
21. Переход от разностей к производным....................50
II. Дифференциальное обозначение........................52
22. Дифференциалы ................................................—
23. Полные диференциалы........................................54
24. Высшие диференциалы сложной функции......................56
25. Диференциал произведения....................................58
26. Однородные функции ......................................59
27. Формула Тейлора для функций многих переменных..............62
III. Функции, определенные как пределы................. 65
28. Способ определения новых функций............................—
29. Равномерная сходимость....................
30. Равномерно сходящиеся- ряды............... 69
31. Непрерывная функция, не имеющая производной................72
Упражнения...................................74
Глава III.
НЕЯВНЫ К ФУНКЦИИ. МАКСИМУМ И МИНИМУМ КАМИНА ПЕРЕМЕННЫХ.
I. Неявные функции.........................
32. Исследование частного случая.................—
33. Вычисление корня последовательными приближениями..........80
34. Производные от неявных функций........................84
35. Приложение к поверхностям..........................85
36. Высшие производные ...........................86
37. Частные производные.........................88
38. Совокупные уравнения .............................91
39. Вычисление производных...........................93
40. Обращение функций .....................
41. Касательная к кривой в пространстве.............—
II. Особые точки. Максимумы и минимумы.......................97
42. Особые точки......- -..................................—
43. Конические точки поверхности...............100
44. Максимумы и минимумы функций одного переменного ........102
45. Функции двух переменных...............10З
46. Исследование сомнительного случая..............105
47. Функции трех переменных..................
48. Расстояние точки от поверхности ...............111
49. Максимум и минимум неявных функции............
50. Общие замечания об абсолютных максимумах и минимумах ........113
51. Максимальное значение одного определителя..........115
III. Функциональные определители.................116
52. Основное свойство.....................
IV. Замена переменных..........................123
53. Общие замечания........................
54. Задача 1 . .......................124
55. Приложения........................125
56. Задача 11..........................128
57. Преобразование плоских кривых................129
58. Преобразование прикосновения.................130
59. Томографические преобразования..............132
60. Задача III..........................133
61. Другой способ решения ...................136
62. Задача IV......................139
63. Преобразование Лежандра...............—
64. Преобразование Ампера ..................141
65. Уравнение потенциала в криволинейных координатах......142
Упражнения.........................l43
Глава IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
I. Различные методы квадратуры.....................151
66. Квадратура параболы .........................
67. Общий метод........................153
68. Начальные функции......................154
II. Определенные- интегралы. Геометрические понятия, с ними связанные ......156
69. Суммы S и ...........................
70. Теорема Дарбу........................151
71. Интегрируемые функции ...................156
72. Определенные интегралы ...................
73. Формула среднего значения ..............
74. Вторая формула среднего значения..............
75. Переход к первообразным функциям..............165
76. Указатели...........................168
77. Площадь плоской области...................170
78. Вычисление площади плоской области ..........172
79. Длина дуги кривой.................175
80. Направляющие косинусы.............179
81. Изменение отрезка прямой.................—
82. Теоремы Гревса и Шаля....................180
III. Замена переменных. Интегрирование по частям ............181
83. Замена переменных...........................—
84. Интегрирование по частям...................183
85. Формула Тейлора.......................185
85bis. Трансцендентность, числа е ................186
86. Полиномы Лежандра....................187
IV. Распространение понятия об интеграле. Криволинейные интегралы .........189
87. Один из пределов обращается в бесконечность..................—
88. Применение второй теоремы о среднем.............191
89. Подинтегральная функция обращается в бесконечность...........194
90. Функция Г (а).........................197
91. Криволине шые интегралы...................198
92. Приложение к площади замкнутой кривой...........200
93. Значение интеграла ..................202
V. Диференцирование и интегрирование под знаком интеграла...........203
94. Диференцирование под знаком интеграла............
95. Интегрирование под знаком интеграла.............205
96. Равномерно сходящиеся интегралы...............207
Упражнения.........................211
Глава V. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
I. Неопределенные интегралы.....................215
97. Интегрирование рациональных функций. Общий способ .........—
98. Уникурсальные кривые ........................227
99. Алгебраически-логарифмические интегралы.............230
100. Приведение интегралов эллиптических и ультраэллиптических .....232
101. Случай глгебраической интеграции..............237
102. Эллиптические интегралы........................238
102а. Псевдоэллиптические интегралы........................—
103. Интегрирование трансцендентных функций. Интегрирование рациональных функций от sin х и cosx........243
II. Приближенное вычисление определенных интегралов..........252
104. Общие основания..................... —
105. Интерполирование......................254
106. Метод Гаусса.........................256
106а. Планиметр Амслера......................258
107. Интегрирование рядов....................260
III. Разные методы.................................264
108. Приложение формул диференцирования и интегрирования под
знаком интеграла.............. —
109. Вычисление ..................267
110. Приближенное значение ..............268
Упражнения.........................270
Глава VI. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
I. Двойные интегралы. Способ вычисления. Формула Грина........274
111. Суммы S и s для функции двух переменных....................—
112. Двойные интегралы.....................276
113. Вычисление двойного интеграла................278
114. Случай произвольной области.................281
115. Аналогия с простыми интегралами...............284
116. Формула Грина........................287
II. Замена переменных. Площадь поверхности...............288
117. Предварительная формула.........................—
118. Замена переменных. Первый способ..............290
119. Примеры .........................292
120. Замена переменных. Второй способ ......................293
121. Объемы...........................296
122. Вычисление объемов......................298
123. Объем, ограниченный линейчатой поверхностью.........299
124. Площадь кривой поверхности..................300
125. Элемент поверхности.....................303
126. Задача Вивиани.......................305
III. Расширение понятия двойного интеграла. Интегралы по поверхности ......306
127. Двойные интегралы по неограниченной области..................—
128. Функция В(р, д)......................309
129. Интегралы от неограниченных функций............310
130. Функциональное уравнение Абеля...............312
131. Поверхностные интегралы...................313
132. Формула Стокса......................315
133. Применение поверхностных интегралов к вычислению объемов .......317
Упражнения..........................318
Глава VII. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ.
I. Кратные интегралы. Замена переменных.................321
134. Тройные интегралы.....................................—
135. Способы вычисления .....................322
136. Формула Остро градского (Грина)...............326
137. Соотношение между двумя элементами поверхности.......327
138. Замена переменных. Первый способ..............328
139. Замена переменных. Второй способ...............330
140. Элемент объема........................332
141. Эллиптические координаты...................335
142. Интегралы Дирихле......................336
143. Кратные интегралы......................337
II. Интегрирование полных дифференциалов.............340
144. Общий метод...................................—
145. Исследование интеграла Pdx У Q dy............343
146. Периоды...........................345
147. Обобщение предыдущих результатов................348
Упражнения.........................349
ДОПОЛНЕНИЕ
О формулах диференцирования определенных интегралов........351

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗