Гурса Э. Курс математического анализа, том 1, часть 2. Разложения в ряды. Геометрические приложения

Гурса Э. Курс математического анализа, том 1, часть 2. Разложения в ряды. Геометрические приложения
Книга Э. Гурса „Курс математического анализа" уже приобрела у русских читателей заслуженную известность и признание. По объему это руководство является одним из наиболее полных в современной мировой математической литературе; в то же время излагаемые факты выбраны не по принципу энциклопедичности; выбор проникнут одной руководящей мыслью — дать необходимый материальна котором основывается разработка наиболее важных проблем современной науки. Книга уже принесла большую пользу нашей университетской учащейся молодежи как пособие для углубления обычного курса анализа и для самообразования; можно смело сказать, что она много способствовала повышению уровня нашей математической культуры. Прежние пере и оды сделаны — том I с первого и второго французских изданий, том И — со второго издания. За прошедшее с тех нор время автор подверг первый том своего курса значительной переработке, а во втором введены большие дополнения. Основной целью его была поставить новые издания на современный уровень развития математической мысли; достаточно указать, что за последние десятилетия основные понятия теории функций действительного переменного стали необходимым средством для обоснования анализа; дополнения касаются ряда вопросов, разработанных в последние десятилетия и настолько важных, что они должны найти свое место в учебнике; наряду с этим в изложение дифференциальной геометрии систематически введены гауссовы координаты. Естественно, редактор поставил своей целью дать эти новые факты и идеи в переводе. С другой стороны, Гурса исключил в новых изданиях ряд элементарных вопросов, как, например, систематическую теорию неопределенных интегралов, которые во Франции отнесены к курсу средней школы. Имея в виду нашего советского читателя, редактор не мог согласиться с такими сокращениями. Поэтому большая часть материалов старых изданий, пропущенная автором в последующем, все же включена в настоящий перевод. Для удобства читателя нумерация параграфов согласована с последними французскими изданиями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VIII. Ряды и бесконечные произведения.
I. Признаки сходимости ..........................9
148. Общие замечания......................................9
149. Ряды с положительными членами...........................10
150. Признаки Коши и Даламбера .....................11
151. Различные замечания...............................11
152. Применение наибольшего из пределов........................13
153. Теорема Коши ............................14
154. Логарифмические признаки...........................17
155. Признак Раабе и Дюамеля..........................19
156. Абсолютно сходящиеся ряды ........................23
157. Ряды условно сходящиеся или полусходящиеся........25
158. Признак Абеля.........................26
II. Ряды с мнимыми членами. Кратные ряды ......................28
159. Определения.............................28
160. Умножение рядов...........................29
161. Двойные ряды ...................................30
162. Кратные ряды......................................35
163. Обобщение теоремы Коши ..........................36
164. Кратные ряды с переменными членами..........................37
III. Бесконечные произведения.............................38
165. Определения и общие замечания................................38
166. Абсолютно сходящиеся произведения..........................39
167. Равномерно сходящиеся произведения...........41
168. Действительные бесконечные произведения....................42
169. Определитель бесконечно большого порядка ................45
Упражнения............................46
Глава IX. Целые ряды. Тригонометрические ряды.
I. Ряд Тейлора. Общие замечания........................47
170. Ряд Тейлора ......................47
171. Ряды для ..........................50
II. Целые ряды с одним переменным......................54
172. Область сходимости..............................54
173. Непрерывность целого ряда...........................56
174. Последовательные производные от целого ряда.................58
175. Второе доказательство ...................61
176. Распространение формулы Тейлора....................63
177. Усиливающие функций............................64
178. Подстановка ряда в ряд .........................67
179. Деление целых рядов ....................70
180. Разложение ............................72
III. Целые ряды ..........................73
181. Область сходимости...............................73
182. Свойства целых рядов............................75
183. Усиливающие функции .....................78
IV. Неявные функции. Аналитические кривые и поверхности............80
184. Неявная функция одного переменного.......................80
185. Общая теорема..............................83
186. Формула Лагранжа.....................85
187. Обращение функций.......................87
183. Аналитические функции........................87
189. Аналитические кривые ..........................89
190. Двойные точки..............................91
191. Аналитические поверхности........................93
V. Тригонометрические ряды. Ряды полиномов......................95
192. Ряды Фурье ........................95
193. Исследование интеграла ..................97
194. Функции, разложенные в ряд Фурье .............102
195. Примеры...........................105
196. Различнее обобщения.....................106
197. Разложение непрерывной функции. Теорема Вейерштрасса ........108
Упражнения ......................109
Глава Х. Теория огибающих. Прикосновение.
I. Огибающие кривые и поверхности.........112
198. Разыскание огибающих....................112
199. Огибающая прямой линии...................116
200. Огибающая окружности....................117
201. Поверхности с одним параметром...............118
202. Поверхности, зависящие от двух параметров..........119
203. Развертывающиеся поверхности................121
204. Дифференциальные уравнения развертывающихся поверхностей .......123
205. Огибающая семейства кривых двойной кривизны........124
II. Прикосновение двух кривых. Прикосновение кривой с поверхностью .....127
206. Прикосновение плоских кривых................127
207. Порядок прикосновения....................129
208. Соприкасающиеся кривые . ..................131
209. Свойства соприкасающихся кривых..............133
210. Прикосновение двух пространственных кривых.........134
211. Соприкасающиеся кривые . ................137
212. Прикосновение кривой с поверхностью...........138
213. Прямые, соприкасающиеся с данной поверхностью.......140
Упражнения.........................141
Глава XI. Кривые двойной кривизны.
I. Соприкасающаяся плоскость...................143
214. Определение и уравнение...................143
215. Стационарная соприкасающаяся плоскость ............145
216. Стационарные касательные..................146
II. Кривизна и кручение. Развертки.................148
217. Сферическая индикатриса.....................148
218. Радиус кривизны..................150
219. Главная нормаль. Центр кривизны...............151
220. Полярная прямая. Полярная поверхность............153
221. Кручение........................153
222. Формулы Френе...................157
223. Разложение координат х, у, z по степеням s..........158
224. Естественное (внутреннее) уравнение кривой ..........160
225. Развертывающие и развертки.................162
226. Винтовые линии.......................164
227. Кривые Бертрана .......................166
228. Соприкасающийся шар....................167
III. Семейства прямых линий......................168
229. Линейчатые поверхности....................168
230. Конгруэнция. Фокальные поверхности ...................172
231. Конгруэнции нормалей....................174
231а. Теорема Малюса................................176
232. Комплексы ..........................177
Упражнения ........................179
Глава XII. Поверхности.
I. Кривизна кривых на поверхности ...............182
233. Основная формула. Теорема Менье..............182
234. Две основные квадратичные формы..............187
235. Теорема Эйлера. Индикатриса.................189
236. Главные радиусы кривизны .... .............191
II. Асимптотические линии. Линии кривизны..............194
237. Асимптотические линии ....................194
238. Асимптотические линии линейчатых поверхностей.......197
239. Сопряженные линии......................198
240. Линии кривизны.....................200
241. Развертка поверхности ........................203
242. Формулы Родрига.......................205
243. Теорема Иоахимсталя.....................206
244. Теорема Дюпена.......................207
245. Геодезическое кручение ................209
246. Приложение к некоторым классам поверхностей........211
III. Соответствие между точками двух поверхностей...........212
247. Сферическое представление ..................212
248. Наложение поверхностей.................214
249. Поверхности, налагающиеся на плоскость ..........217
250. Геодезическая кривизна. Геодезические линии.........220
251. Полная кривизна. Теорема Гаусса...............222
252. Конформные преобразования.................223
253. Конформное отображение плоскости на плоскость........225
254. Географические карты.....................226
Упражнения.......................228
Указатель ........................232

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗