Ховратович Д.В. Уравнения математической физики. Конспект лекций. - М.: МГУ
Содержание
1 Классификация уравнений с частными производными второго порядка 2
2 Уравнения параболического типа 3
2.1 Вывод уравнения теплопроводности в пространстве...............................3
2.2 Уравнение теплопроводности с одной пространственной переменной. Постановка основных задач 4
2.3 Существование решения первой краевой задачи. Метод разделения переменных....................5
2.4 Принцип максимального значения для уравнения теплопроводности..................................9
2.5 Единственность и устойчивость решения первой краевой задачи..................10
2.6 Единственность решения общей краевой задачи..................................12
2.7 Существование решения задачи Коши..........................................13
2.8 Единственность решения задачи Коши ...........................18
2.9 Существование решения первой и второй краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой ................19
2.10 Функция Грина для первой краевой задачи .................................21
3 Уравнения эллиптического типа 23
3.1 Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка краевых задач. Фундаментальные решения уравнения Лапласа............23
3.2 1-я и 2-я формулы Грина.............................24
3.3 3-я формула Грина............................25
3.4 Свойства гармонических функций.................................................26
3.5 Принцип максимума для гармонических функций ..................................27
3.6 Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле...................28
3.7 Единственность решения внешней задачи Дирихле...............................29
3.8 Внутренняя задача Неймана. Необходимое условие ее разрешимости. Единственность решения ....31
3.9 Функция Грина для уравнения Лапласа и ее свойства ..........................32
3.10 Потенциалы простого и двойного слоя. Потенциал двойного слоя с единичной плотностью ....35
3.11 Сведение внутренней задачи Дирихле к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода..........39
4 Уравнения гиперболического типа .......................41
4.1 Постановка задач для уравнения колебаний ...................................41
4.2 Формула Даламбера. Существование, устойчивость и единственность решения задачи Коши ... 41
4.3 Характеристики уравнения в частных производных второго порядка..................................43
4.4 Задача на полупрямой. Метод продолжений .......................................44
4.5 Метод разделения переменных для доказательства существования решения первой краевой задачи 46
4.6 Интеграл энергии. Единственность решения краевых задач для уравнения колебаний..............49
4.7 Задача с данными на характеристиках. Эквивалентная система интегральных уравнений..........51
4.8 Существование решения задачи с данными на характеристиках.........................52
4.9 Единственность решения задачи с данными на характеристиках............................54
4.10 Сопряженный дифференциальный оператор ........................................56
4.11 Метод Римана.........................................................57
4.12 Обобщенные решения........................................................60
5 Приложение. Вспомогательные формулы и определения 63
