ИЛЬИН В. А., ПОЗНЯК Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I: Учеб.: Для вузов. 7-е изд. М., 2005. 648 с. (Курс высшей математики и математической физики)
Том 1 включает теорию вещественных чисел, теорию пределов и непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, теорию числовых рядов, дифференциальное исчисление многих переменных.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............... 15
Глава 1. Предварительные сведения об основных понятиях математического анализа................. 19
§ 1. Математические понятия, возникающие при описании движения .................. 19
§ 2. Мгновенная скорость и связанные с пей новые математические понятия............... 22
§ 3. Задача, о восстановлении закона движения по скорости и связанная с ней математическая проблематика....... 29
§ 4. Проблемы, возникающие при решении задачи о вычислении пути ....31
§ 5 Заключительные замечания ............. 35
Глава 2. Теория вещественных чисел............... 37
§ 1. Вещественные числа-......................... 37
1. Свойства рациональных чисел (37). 2. 06 измерении отрезков числовой оси (39). 3. Вещественные числа и правило их сравнения (42). 4. Приближение вещественного числа рациональными числами (45). 5. Множества вещественных чисел ^ ограниченные сверху или снизу (46). § 2 Арифметические операции нал вещественными числами.
Основные свойства вещественных чисел............. 50
1. Определение суммы, вещественных чисел (50). 2. Определение произведение вещественных чисел (53), 3, Свойства вещественных чисел {53). 4. Некоторые часто v потребляемые соотношения (55).
§ 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел ... . . 56
Дополнение О переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную и из двоичной системы в десятичную........ 57
1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную (57). 2. Перевод чисел из двоичной системы счисления, в десятичную (59). Дополнение 2, Об ошибках в округлении чисел в системах счислении с четным и нечетным основаниями................ 59
Глава 3. Предел последовательности............... 61
§ 1. Числовые последовательности................... 61
§ 2. Сходящиеся последовательности и их основные свойства.....67
1. Понятие сходящейся последовательности (67). 2. Основные свойства сходящихся последователь]«остей (69). 3. Предельный переход в неравенствах (71).
§ 3. Монотонные последовательности................. 73
§ 4. Некоторые свойства произвольных последовательностей и числовых множеств............... 79
Глава 4. Понятие; функции. Предельное значение функции. Непрерывность...................100
§ 1. Понятие функции..........................100
§ 2. Понятие предельного значения функции.............103
1. Определение предельного значение функции (103). 2. Арифметические операции над функциями, имеющими предельное значение (106). 3, Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций (107),
§ 3. Понятие непрерывности функции.................110
1. Определение непрерывности функции (110). 2. Арифметические операции над непрерывными функциями (112). 3. Сложная функция и ее непрерывность (112).
§ 4. Некоторые свойства монотонных функций............113
1. Определение и примеры монотонных функций (113). 2. Понятие обратной функции. Монотонные функции, имеющие обратную (114).
§ 5. Простейшие элементарные функции................117
§ б. Предельные значении некоторых функций............133
§ 7. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций.....................138
1. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций (138). 2. Понятие элементарной функции. Класс элементарных функций (142).
§ 8. Классификация точек разрыва функции.............143
1. Точки разрыва функции и их классификация (113). 2. Кусочно непрерывные функции (115).
Дополнение. Доказательство утверждения из п. 6 § 5........116
Глава 5. Основы дифференциального исчисления......156
§ 1. Производная. Ее физическая и геометрическая интерпретация ....156
§ 2. Понятие дифференцируемости функции.............162
§ 3. Правила дифференцирования суммы. разности, произведения и частного..............166
§ 4. Вычисление производных степенной функции, тригонометрических функций и логарифмической функции..........168
§ 5. Теорема о производной обратной функции............171
§ 6. Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций..............173
§ 7. Правило дифференцирования сложной функции........175
§ 8. Логарифмическая производная. ..........177
1. Понятие логарифмической производной функции (177). 2. Производная степенной функции с. любым вещественным показателем (178). 3. Таблица производных простейших элементарных функций (178).
§ 9. Инвариантность формы первого дифференциала. Некоторые применения дифференциала....................179
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков.......183
Глава 6. Неопределенный интеграл................190
§ 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.... 190
§ 2. Основные методы интегрирования.................196
Глава 7. Комплексные числа. Алгебра многочленов. Интегрирование в элементарных функциях ........203
§ 1. Краткие сведения о комплексных числах.............203
§ 2. Алгебраические многочлены....................207
§ 3. Кратные корни многочлена. Признак кратности корпя.....210
§ 4. Принцип выделения кратных корней. Алгоритм Евклида ......
212
§ 5. Разложение правильной рациональной дроби с комплексными коэффициентами ты сумму простейших дробей.......215
§ 6. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей.........217
§ 7. Разложение правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на сумму простейших дробей с вещественными коэффициентами..........220
§ 8, Проблема интегрирования раштоиальттой дроби.........225
§ 9. Метод Остроградского........................228
§ 10. Интегрирование некоторых иррациональных и иррациональных выражений............231
§ 11. Эллиптические интегралы .....................245
Глава 8. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях..........217
§ 1. Новое определение предельного значения функции.......247
§ 2. Локальная ограниченность функции, имею шеи предельное значение ............252
§ 3. Теорема об устойчивости зттака непрерывной функции.....254
§ 4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение .............255
§ 5. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте......256
§ 6. Точные грани функции ц их достижение функцией, непрерывной на сегменте...........257
§ 7. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный максимум (минимум)..........260
§ 8. Теорема о пуле производной.................262
§ 9. Формула конечных приращений (формула Лаграпжа).....263
§ 10. Некоторые следствия из формулы Лагранжа. ..........264
§ 11. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши) ....269
§ 12. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя).......270
§ 13. Формула Тейлора .......................275
§ 11 Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена ..... 278
§ 15. Оценка остаточного члена.....281
§ 10. Примеры приложений формулы Маклорена............285
Дополнение. Вычисление -элементарных функций..........290
Глава 9. Геометрическое исследование графика функции. Нахождение максимального и минимального значений функции.............300
§ 1. Условия монотонности функции. Отыскание точек экстремума ....300
§ 2. Направление выпуклости графика функции...........308
§ 3. Точки перегиба графика функции.................310
1. Определение точки перегиба. Необходимое условие перегиба (310). 2, Первое достаточное условие перегиба (313). 3. Второе достаточное условие перегнои (314). 4. Некоторые обобщения первого достаточного условия перегиба (315).
§ 1. Третье достаточное условие экстремума и перегиба.......315
§ 5. Асимптоты графика функции...................318
§ 6. Схема исследования графика функции..............320
§ 7. Отыскание максимального и минимального значений функции. Краевой экстремум..............323
1. Отыскание максимального и минимального значений функции (323). 2. Краевой экстремум (325).
Глава 10. Определенный интеграл................327
§ 1. Интегральные суммы. Игнегрируемостъ.............327
§ 2. Верхние тт нижние суммы......................330
1. Понятие верхней и нижней сумм (330). 2, Свойства верхних и нижних сумм (331).
§ 3. Необходимое и достаточное условие интегрируемос-гн .....335
§ 4. Некоторые классы интегрируемых функций...........337
§ 5. Основные свойства определенного интеграла ..........311
§ 6. Оценки интегралов. Формулы среднего значении........317
1. Оценки интегралов (347). 2. Первая формула среднего значения (350). 3. Первая формула среднего значения в обобщенной форме (350). 4. Вторая формула среднего значения (351).
§ 7. Существование первообразной для непрерывной функции. Основные правила интегрирования............352
Дополнение 1. Некоторые важные неравенства для сумм и интегралов .............360
Дополнение 2. Доказательство утверждения из п. 4 .......308
Глава 11. Геометрические и физические приложения определенного интеграла...................308
§ 1. Длина дуги кривой..........................308
§ 2. Площадь плоской фигуры .....................383
§ 3. Объемы тел тт площади поверхностей...............390
§ 4. Некоторые физические приложения определенного интеграла......395
1. Масса и центр тяжести неоднородного стержня (395). 2. Работа переменной силы (397).
Дополнение. Пример неквадрируемой фигуры.............397
Глава 12. Приближенный методы вычисления корней уравнений и определенных интегралов.........102
§ 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений.....402
§ 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 414 1. Вводные замечании (414). 2. Метод прямоугольников (410). 3. Метод трапеций (120). 4. Метод парабол (422), 5. Заключительные замечания (125).
Глава 13. Теория числовых рядов.................420
§ 1. Понятие числового ряда.......................120
§ 2. Ряды с положительными членами.................432
1. Необходимое и достаточное уело тяте сходимости ряда с положительными членами (432). 2. Признаки сравнении (432). 3. Признаки Даламбера и Коши (130). 1. Интегральный признак Коши-Маклорена (139). 5. Признак Раабе (412). 6. Отсутствие универсального ряда сравнения (444)
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды..............115
1. Понятия абсолютно и условно сходившегося ряда (445). 2. О перестановке членов условно сходящегося ряда (147). 3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (450).
§ 4. Арифметические операции над сходящимися рядами......453
§ 5. Признаки сходимости произвольных рядов............154
1. Признак Лейбница (455). 2. Признак Дирихле-Абеля (457).
§ 6. Бесконечные произведения.....................400
1. Основные понятия (100). 2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов (162).
Дополнение 1. Вспомогательная георема для п. 3 § 2 ........400
Дополнение 2. Разложение функции sin,г в бесконечное произведение ...............407
Дополнение 3. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов..............470
Глава 14. Функции нескольких переменных..........475
§ 1. Понятие функции нескольких переменных............175
§ 2. I предельное значение функции нескольких переменных .......483
§ 3. Непрерывные функции нескольких переменных.........490
§ 4. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных ............407
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков .......513
§ 6. Локальный экстремум функции и переменных.........531
§ 7. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции .............543
Глава 15. Теория неявных функций и ее приложения ......508
§ 1. Понятие неявной функции.....................508
§ 2. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции и некоторые ее применения...............509
§ 3. Неявные функции, определяемые системой функциональных уравнений................580
§ 4. Зависимость функций....................587
1. Понятие зависимости функции. Достаточное условие независимости (587). 2. Функциональные матрицы и их приложения (59(3).
§ 5. Условный экстремум.........................594
Дополнение. Замена переменных....................602
Глава 16. Некоторые геометрические приложения дифференциального исчисления................600
§ 1. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства плоских кривых............000
§ 2. Соприкосновение плоских кривых.................615
§ 3. Кривим на плоской кривой......................622
1. Понятие о кривизне плоской кривой (622). 2. Формула для вычисления кривизны (621),
§ 1. Эволюта и эвольвента........................627
1. Нормаль к плоской кривой (627). 2. Эволюта и эвольвента плоской кривой (628).
Приложение. Дальнейшее развитие теории вещественных чисел .........632
Предметный указатель............................642
