Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения и их приложения. — М., 2002. - 324 с.
Книга представляет расширенный конспект специального курса, посвященного конформным отображениям, их приложениям к задачам математической физики и их компьютерной визуализации. Рассмотрены многочисленные приложения конформных отображений для расчета и визуализации плоских гармонических векторных полей в гидродинамике, теории электромагнетизма, теории фильтрации. Подробно рассмотрены отображения многоугольных областей с помощью интеграла Кристоффеля — Шварца.
Книга содержит атлас конформных отображений, осуществляемых элементарными функциями. Для построения изображений, приведенных в книге, использовался математический пакет Maple V.
Оглавление
Предисловие 7
1 Основы теории конформных отображений 9
1.1 Области и кривые на комплексной плоскости ............9
1.1.1 Комплексная плоскость и сфера комплексных чисел 9
1.1.2 Области на комплексной плоскости................12
1.1.3 Кривые на комплексной плоскости ................14
1.1.4 Классификация плоских областей..................15
1.2 Аналитические функции....................................20
1.3 Гармонические сопряженные функции ....................22
1.4 Изогональные и локально - конформные отображения ..... 24
1.4.1 Условия изогональности отображения в точке zo = оо.........26
1.4.2 Условие изогональности отображения в точке wo = оо..........26
1.5 Однолистные аналитические функции. Конформные отображения плоских областей..............29
1.6 Основные принципы теории конформных отображений . 31
1.6.1 Принцип сохранения границы......................31
1.6.2 Теоремы существования ............................32
1.6.3 Теоремы единственности............................33
1.6.4 Принцип однолистности ...............34
1.6.5 Принцип соответствия границ......................35
1.6.6 Принцип симметрии..................................42
2 Простейшие приложения конформных отображений в механике и физике 46
2.1 Плоское гармоническое векторное поле.......... 46
2.2 Плоские гармонические векторные поля в механике и физике............................. 48
2.2.1 Поле скоростей установившегося течения идеальной жидкости................. 48
2.2.2 Поле скорости жидкости при установившейся фильтрации...................... 49
2.2.3 Стационарные задачи теории теплопроводности . 49
2.2.4 Задачи электростатики............... 50
2.2.5 Задачи магнитостатики............... 50
2.2.6 Стационарный электрический ток в однородной электропроводящей среде.............. 51
2.2.7 Поперечные электромагнитные волны в волноведущих системах .............. 52
2.3 Комплексный потенциал.................. 53
2.4 Граничные задачи для гармонических функций..... 55
2.5 Визуализация гармонических векторных полей методом конформного отображения................. 57
2.5.1 Инвариантность аналитической функции при конформном отображении.............. 57
2.5.2 Поток в криволинейной угловой области. Обтекание бесконечной кривой.......... 58
2.5.3 Поток в криволинейной полосе........... 59
2.5.4 Плоская задача Робена. Визуализация электростатического поля заряженного проводящего цилиндра........ 61
2.5.5 Построение функции источника задачи Дирихле . 62
3 Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями 66
3.1 Линейная функция............................................66
3.2 Квадратичная функция......................................67
3.3 Дробно - линейная функция..................................72
3.4 Функция Жуковского........................................81
3.5 Показательная (экспоненциальная) функция..............87
3.6 Логарифмическая функция..................................89
3.7 Степенная функция..........................................92
3.8 Гиперболические и тригонометрические функции .... 97
3.9 Обратные тригонометрические и гиперболические функции........................................................104
4 Визуализация плоских векторных полей с точечными особенностями 109
4.1 Визуализация векторных полей с одной особенностью ..... 110
4.1.1 Источники, вихри, вихреисточники................110
4.1.2 Диполи и квадруполи................................111
4.1.3 Источник в однородном поле........................111
4.1.4 Диполь в однородном поле..........................113
4.1.5 Визуализация функций источника уравнения Лапласа .......114
4.2 Визуализация векторных полей с двумя точечными особенностями....120
4.2.1 Два точечных источника............................120
4.2.2 Два вихреисточника..................................123
4.2.3 Точечные источник и сток в задаче Дирихле ......123
4.2.4 Точечные источник и сток в задаче Неймана ..... 127
4.3 Поля решеток точечных особенностей......................129
4.3.1 Решетка из одинаковых источников................129
4.3.2 Решетка из чередующихся источников и стоков ... 131
4.3.3 Вихревые цепочки Кармана........................131
4.3.4 Решетка источников в однородном поле ............132
4.3.5 Поля решеток диполей..............................134
5 Конформные отображения некоторых замечательных областей 137
5.1 Отображения круговых двуугольников (луночек) .... 137
5.1.1 Криволинейные полуплоскости ....................138
5.1.2 Внешности конечных контуров......................140
5.1.3 Конечные круговые двуугольники..................143
5.2 Построение отображений с помощью принципа соответствия границ..........................................145
5.2.1 Эпициклоиды и укороченные эпитрохоиды ..........146
5.2.2 Гипоциклоиды и укороченные гипотрохоиды ........147
5.2.3 Обобщенные овалы Кассини и обобщенная лемниската n - го порядка...148
5.2.4 Внешность звездообразного разреза................153
5.2.5 Плоскость с n симметричными разрезами вдоль лучей...........154
5.2.6 Область между двумя трактрисами................157
5.3 Построение конформных отображений при помощи аналитического продолжения функции с вещественной оси 160
5.3.1 Цепная линия..........................................160
5.3.2 Кривая v = a shu......................................162
5.3.3 Экспоненциальная кривая и кривые Кирхгофа ......163
5.3.4 Циклоида и трохоиды................................165
5.3.5 Отображение, осуществляемое функцией w = z + athz..............167
5.4 Построение конформных отображений с использованием принципа симметрии.......167
5.4.1 Построение отображения "половинной" области ........169
5.4.2 Построение отображения "удвоенной" области ..........172
5.5 Конформные отображения конических сечений и их инверсий ........177
5.5.1 Эллипс................................................179
5.5.2 Парабола..............................................181
5.5.3 Гипербола..............................................184
6 Отображения многоугольных областей 191
6.1 Классификация многоугольных областей..................191
6.2 Прямая задача Кристоффеля - Шварца....................192
6.3 Обратная задача Кристоффеля-Щварца....................199
6.4 Отображение внешности многоугольника..................202
6.5 Многоугольники, ограниченные разрезами по лучам параллельных прямых ......205
6.5.1 Плоскость с разрезами вдоль параллельных лучей, направленных в одну сторону.....205
6.5.2 Плоскость с разрезами вдоль параллельных лучей, направленных в противоположные стороны.....208
6.5.3 Полуплоскость с разрезами вдоль параллельных лучей....................211
6.5.4 Полоса с разрезами вдоль лучей....................216
6.6 Звездообразные многоугольные области ..................218
6.6.1 Угловые звездообразные области ..................219
6.6.2 Звездообразные полосы, для которых начало координат является граничной точкой............221
6.6.3 Звездообразные многоугольные полосы, для которых начало координат является внутренней точкой....................................223
6.6.4 Внешности конечных звездообразных разрезов ..........226
6.7 Отображения треугольных областей ......................228
6.7.1 Конечные треугольники............................230
6.7.2 Угловые треугольные области......................231
6.7.3 Треугольные полосы................................235
6.7.4 Внешности треугольников..... ................236
6.8 Отображения четырехугольных областей..................237
6.8.1 Четырехугольники с четырьмя целочисленными углами ................240
6.8.2 Четырехугольники с двумя целочисленными углами ................240
6.8.3 Четырехугольники с одним целочисленным углом 251
6.9 Отображения правильных и симметричных многоугольников...........257
7 Визуализация регулярных гармонических векторных полей методом конформного отображения.....262
7.1 Поток, набегающий на бесконечную кривую и разветвляющийся на ней...........
7.2 Бесциркуляционное обтекание произвольного цилиндра 264
7.3 Общая задача обтекания цилиндра........................266
7.3.1 Обтекание круглого цилиндра......................267
7.3.2 Обтекание произвольного цилиндра................269
7.3.3 Обтекание аэродинамических профилей ..........272
7.4 Задача об ударе твердого цилиндра о поверхность несжимаемой жидкости......................................274
7.5 Смешанная граничная задача в криволинейной угловой области. Простейшая задача теории фильтрации .... 277
7.6 Плоское электрическое поле в многоэлектродной системе. Поток в криволинейной полосе с N рукавами............279
7.6.1 Визуализация вращающегося магнитного поля в асинхронных электродвигателях трехфазного тока 282
7.6.2 Визуализация электрического поля в плоской квадрупольной электронной линзе..................285
Атлас конформных отображений 288
Каталог 1. Конечные области............................288
Каталог 2. Внешности конечных контуров......................291
Каталог 3. Криволинейные угловые области ..................296
Каталог 4. Криволинейные полосы..............................304
Каталог 5. Криволинейные полосы с N рукавами..............309
Приложение. Комплексная графика в Maple 313
Процедуры complexplot и conformal..........................313
Приложение. Комплексные числа и функции в Maple .... 316
Литература 317
Предметный указатель 319
