Хапланов М.Г. Теория функций комплексного переменного (краткий курс). - М., 1965. - 208 с.
Курс читался ряд лет на вечернем и заочном отделениях Ростовского-на-Дону государственного педагогического института. Большое внимание уделено элементарным функциям, точкам их разветвления, римановым поверхностям и конформным отображениям, совершаемым с помощью простейших функций.
Из многочисленных приложений наиболее убедительными и важными представляются приложения к гидромеханике.
Книга составлена с учетом того, что студент-заочник, находясь вдали от вуза и не имея возможности быстро получить нужную консультацию, должен изучить курс в основном самостоятельно. Поэтому доказательства приводятся в ней более подробно, чем обычно, разъяснение общих теоретических положений дается на многочисленных примерах, указываются примеры решения простейших задач теории функций комплексного переменного. Для достижения большей наглядности книга снабжена большим количеством рисунков. В конце каждой главы даны упражнения, чтобы читатель мог проверить себя, насколько он усвоил прочитанное.
Оглавление
Введение. Комплексные числа
§ 1. Комплексные числа, их геометрическое изображение и действия с ними...................... 5
§ 2. Теоремы о модуле и аргументе ............. 10
Исторические справки................... . 13
Глава I. Функции и отображения
§ 1. Понятие о кривой н области.............. 14
§ 2. Понятие о функции комплексного переменного....... 19
§ 3. Геометрическое истолкование функции........... 21
Глава И. Предел функции. Непрерывность. Производная
§ 1. Предел функции.............................26
§ 2. Предел последовательности..............................29
§ 3. Непрерывность функции......................29
§ 4. Производная . . . ...................................30
Глава III. Понятие об аналитической функции
§ 1. Аналитичность однозначной функции......................38
§ 2. Аналитичность многозначной функции........... 39
§ 3. Нахождение аналитической функции по заданной действительной части.............44
Исторические справки......................................47
Глава IV. Геометрический и гидромеханический смысл производной аналитической функции
§ 1. Геометрический смысл производной............ 48
§ 2. Гидромеханический смысл аналитической функции и ее производной 53
Исторические справки................... 57
Глава V. Ряды с комплексными членами. Степенные ряды а комплексной плоскости
§ 1. Ряды........................ 58
§ 2. Степенные ряды................... 61
Исторические справки................... 67
Глава VI. Элементарные трансцендентные функции на плоскости комплексного переменного
§ 1. Функции еz, sin z, cos z................................68
§ 2. Логарифмическая функция..............................73
§ 3. Исследование функции в бесконечно удаленной точке..........75
§ 4. Степень с произвольным показателем......................76
§ 5. Обратные тригонометрические функции......................77
Исторические справки.........................79
Глава VII. Простейшие конформные отображения
§ 1. Линейные преобразования................80
§ 2. Дробно-линейные преобразования........................81
§ 3. Свойства дробно-линейных преобразований..................83
§ 4. Примеры конформных отображений, совершаемых с помощью
дробно-линейной функции.........................97
§ 5. Преобразование W=Z (а действительное)................101
§ 6. Преобразование Н. Е. Жуковского........................102
§ 7. Преобразование W=e................................104
§ 8. Условия, однозначно определяющие конформное преобразование ... 106
§ 9. Теорема Римана о конформном отображении................109
Глава VIII. Основные интегральные теоремы теории» аналитических функций
§ 1. Интеграл от функции комплексного переменного..............Ill
§ 2. Основная теорема Коши................................118
§ 3. Интегральная формула Коши............................122
§ 4. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции . . . 125
Исторические справки......................................129
Глава IX. Ряд Тейлора и его приложения
§ 1. Ряд Тейлора.................................130
§ 2. Доказательство основной теоремы алгебры..................137
§ 3. Теорема единственности аналитической функции..............137
§ 4. Нули аналитической функции............................139
Исторические справки . ...................................142
Глава X. Ряд Лорана и его приложения
§ 1. Ряд Лорана..........................................143
§ 2. Классификация изолированных особых точек однозначного характера...............149
Исторические справки ......................................158
Глава XI. Теория вычетов
§ l. Основные теоремы.........................159
§ 2. Вычисление определенных интегралов...........162
Исторические справки...................172
Глава XII. Аналитическое продолжение и римановы поверхности
§ 1. Понятие об аналитическом продолжении функции............173
§ 2. Процесс аналитического продолжения функции по Вейерштрассу ....176
§ 3. Примеры аналитического продолжения функций..............177
§ 4. Примеры построения римановых поверхностей ........ 180
§ 5. Особые точки функции на границе круга сходимости степенного ряда..........184
§ 6. Пример Вейерштрасса функции, непродолжимой за круг сходимости 186
§ 7. Понятие алгебраической функции..........................186
§ 8. Понятие трансцендентной функции........................188
Исторические справки......................................189
Глава XIII. Гидромеханические приложения 1!0
Примечания...............................198
Таблица значений элементарных функций ......................200
Ответы и указания....................201
