Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений: Пер. с англ. - М., 1985. -472 с., илл.
Монография известных итальянских ученых содержит весьма подробное и вместе с тем доступное изложение метода точного интегрирования ряда классов нелинейных уравнений в частных производных (основанного на изучении спектральных свойств некоторых линейных дифференциальных операторов), который дал начало развитию новой области математической физики, называемой теорией солитонов. Дается полный обзор современного состояния теории солитонов, излагаются новые результаты, полученные авторами.
Для специалистов, аспирантов и студентов, интересующихся теорией солитонов и ее приложениями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода........................ 5
Предисловие.......................................9
Глава 0. Введение..................................13
Примечания к главе 0..........................15
Глава 1. Основная идея и основные результаты (общий обзор).....18
§ 1. Решение линейных эволюционных уравнений методом преобразования Фурье..................18
§ 2. Класс разрешимых нелинейных эволюционных уравнений ...................................24
§ 3. Спектральное преобразование.................25
A. Прямая спектральная задача............... 26
Б. Обратная спектральная задача...............28
B. Спектральное преобразование...............30
§ 4. Решение нелинейных эволюционных уравнений методом спектрального преобразования................32
§ 5. Связь с методом решения линейных эволюционных уравнений, основанном на преобразовании Фурье .... 35
§ 6. Качественное поведение решений: солитоны и фон. . . 36
А. Солитоны............................37
Б. Фон.................................40
Общее решение.........................41
§ 7. Дополнительные свойства решений..............43
A. Преобразования Бэклунда..................43
Б. Нелинейный принцип суперпозиции............48
B. Законы сохранения.......................50
§ 8. Перечень разрешимых уравнений...............55
Примечания к главе 1..........................68
Глава 2. Спектральная задача Шредингера на прямой...........73
§ 1. Прямая спектральная задача..................73
А. Свойства преобразований..................83
§ 2. Обратная спектральная задача................85
§ 3. Спектральное преобразование "хороших" (bona fide) потенциалов.............................90
§ 4. Формулы, связывающие две функции с соответствующими спектральными данными...................92
А. Интегральные соотношения вронскиана.........93
1. Дополнительные интегральные соотношения вронскиана..........................107
Б. Спектральные интегральные соотношения.......110
1. Дополнительные спектральные интегральные соотношения.........................116
В. Связь между соотношениями вронскиана и интегральными спектральными соотношениями......117
Примечания к главе 2..........................118
Глава 3. Нелинейные эволюционные уравнения, разрешимые методом спектрального преобразования Шредингера........121
§ 1. Уравнение КдВ и высшие уравнения КдВ.........121
§ 2. Анализ решений..........................131
A. Солитоны и солитроны....................132
Б. Предел слабого поля.....................159
B. Общее решение........................160
Г. Частные решения уравнения КдВ.............161
1. Рациональные решения.................162
2. Асимптотически расходящиеся решения......165
3. Автомодельные решения и ОДУ типа Пенлеве . . 166
Примечания к главе 3.........................169
Глава 4. Преобразования Бэклунда и связанные с ними результаты ....173
§ 1. Преобразование Бэклунда...................174
§ 2. Коммутативность преобразований Бэклунда и принцип нелинейной суперпозиции...........185
§ 3. Формула резольвенты......................192
§ 4. Нелинейные операторные тождества............193
§ 5. Обобщенные преобразования Бэклунда и обобщенная
формула резольвенты......................194
Примечания к главе 4.........................196
Глава 5. Законы сохранения...........................199
Примечания к главе 5.........................211
Глава 6. Обобщения.................................213
§ 1. Дополнительные переменные.................214
§ 2. Коэффициенты, линейно-зависящие от х..........219
§ 3. Решения уравнения КдВ, асимптотически линейные по х..............237
A. Спектральная задача Шредингера с дополнительным линейным потенциалом...................240
Б. Решение нелинейного эволюционного уравнения, частным случаем которого является цилиндрическое уравнение КдВ .........................248
B. Законы сохранения......................251
Г. Цилиндрическое уравнение КдВ..............255
§ 4. Решения уравнения КдВ с одним действительным двойным полюсом........................ 259
§ 5. Эволюционные уравнения, связанные со спектральной задачей для уравнения.............265
Примечания к главе 6.........................273
Дополнения.......................................275
Д.1. Число дискретных собственных значений спектральной задачи Шредингера на всей прямой...........275
Д.2. Соотношения ортогональности и полнены для спектральной задачи Шредингера на прямой...........281
Д.З. Асимптотическое поведение (по к) коэффициентов прохождения и отражения....................283
Д.4. Дисперсионные формулы для коэффициентов прохождения ..............................285
Д.5. Обратная спектральная задача Шредингера на всей прямой................................288
Д.6. Интегральные соотношения вронскиана (доказательства) .............................. .303
Д.7. Спектральные интегральные соотношения (доказательства) ............ .................310
Д.8. Формула для вариации коэффициентов асимптотического разложения фазы коэффициента прохождения .... 813
Д.9. Свойства операторов А, AL и другие формулы... 314
Д.10. Двухсолитонное решение уравнения КдВ и высших уравнений КдВ ..........................335
ДЛЬ Преобразования Гарднера и Миуры и связанные с этим результаты....................339
Д.12. Преобразования Бэклунда, преобразования Дарбу и полоса Баргмана.................346
Д.1З. Асимптотическое разложение функции..................353
Д.14. Сохраняющиеся величины для обобщенных уравнений ...........................354
Д.15. Коэффициенты отражения и прохождения в точке к = 0.................................356
Д.16. Спектральное преобразование вне класса -потенциалов ...........360
Д.17. Применение соотношений вронскиана и спектральных интегральных соотношений для решения спектральной задачи Шредингера на всей прямой.......363
Д.18. О классе уравнений вида.......375
Д.19. Примеры функций, спектральные данные которых известны в явном виде .....................381
Д.20. Общий подход, основанный на алгебре дифференциальных операторов; связь метода спектрального преобразования с подходом Лакса и методом АКНС ... 402
Д.21. Локальные законы сохранения (доказательства) .......417
Д.22. Применение "метода переменной фазы" к задаче рассеяния для уравнения Шредингера на всей прямой........424
Д.23. Уравнения КдВ и высшие уравнения КдВ как гамильтоновый поток (общая схема)................430
Литература.....................439
