Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными. - М.: ИЛ, 1958.
В небольшой монографии Ф. Йона с достаточной полнотой обрисованы некоторые новые возможности классического метода плоских волн и сферических средних применительно к дифференциальным уравнениям с частными производными. Можно считать, что в этом направлении книга является дополнением и развитием соответствующих разделов широко известного труда Д. Гильберта и Р. Куранта „Методы математической физики". В числе наиболее важных вопросов, рассмотренных в книге Ф. Йона, можно назвать: решение задачи Коши для однородного гиперболического уравнения, построение фундаментальных решений и изучение дифференциальных свойств решений эллиптических уравнений и систем, оценки производных решений эллиптических уравнений И др.
Изложение четкое и доступное. Книга будет весьма полезной для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников физико-математических специальностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ................................... 5
От автора......................................................... 7
Введение .......................................................... 9
Глава I. Разложение произвольных функций по плоским волнам
Обозначения.............. 15
Сферическое среднее функции одной переменной .................... 15
Представление функции через ее плоские интегралы................. 17
Глава II. Задача Коши для однородных гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами
Гиперболические уравнения ......................................21
Геометрия нормальной поверхности для строго гиперболического уравнения .................22
Решение задачи Коши для строго гиперболического уравнения ....................25
Представление ядра через интеграл по нормальной поверхности..................28
Область зависимости ...............................32
Волновое уравнение .....................................35
Задача Коши для гиперболических уравнений, у которых нормальная поверхность имеет кратные точки ..........38
Глава III. Фундаментальное решение линейного эллиптического дифференциального уравнения с аналитическими коэффициентами
Определение фундаментального решения .........................................43
Задача Коши........................................................44
Решение неоднородного уравнения с функцией типа плоской волны в правой части ...........48
Фундаментальное решение ............................49
Зависимость характера фундаментального решения от порядка его роста ..................55
Структура фундаментального решения .............................. 58
Фундаментальное решение эллиптических операторов с постоянными коэффициентами ............. 61
Фундаментальное решение линейных эллиптических систем с аналитическими коэффициентами...... 67
Глава IV. Тождества для сферических средних
Символическое выражение для сферических средних..................................72
Основное тождество для итерированных сферических средних................73
Выражение функции через ее итерированные сферические средние ... 76
Дифференциальное уравнение Дарбу...................................81
Глава V. Теоремы Асгейрссона и Ховард
Эллипсоидальные средние ..............................................83
Теорема Асгейрссона о среднем значении ...............................84
Приложения к уравнению Дарбу и к волновому уравнению..................87
Тождество Атем С. Ховард ............................................91
Применения тождества Ховард......................................95
Глава VI. Определение функции ее интегралами по сферам фиксированного радиуса
Функции, периодические в среднем................................. 98
Функции, определенные при помощи их интегралов по сферам радиуса 1 102
Определение поля сил по его действию на подвижную сферу ........ 110
Глава VII. Свойства дифференцируемости решений эллиптических систем
Канонические системы дифференциальных уравнений ................ 112
Приведение определенных систем дифференциальных уравнений к каноническому виду................................................... 113
Формула интегрирования по частям на сфере....................... 119
Сферические интегралы от решений канонической системы........... 120
Дифференцируемость решений линейных эллиптических систем....... 121
Дифференцируемость решений нелинейных эллиптических систем..... 122
Аналитичность решений линейных эллиптических систем с аналитическими коэффициентами........................................... 125
Дифференцируемость непрерывных слабых решений линейного эллиптического уравнения.............................................. 127
Явные выражения и оценки для производных решения линейного эллиптического уравнения............................................ 134
Глава VIII. Свойства регулярности интегралов от решений, взятых по времяобразным линиям
Определение „времяобразности" ................................... 139
Соответствующая каноническая система............................. 139
Производные цилиндрических интегралов от решений................. 140
Дифференцируемость интегралов от решений, взятых по времяобразным кривым.......... 141
Интегралы от решений, взятые по времяобразным кривым с общими концами ........... 144
Литература................................................... 146
Указатель обозначений.............................. 152
Предметный указатель .............................. 153
