Л.В. Канторович, В.И.Крылов. Приближенные методы высшего анализа. - М., 1962. - 709с.
Задачи математической физики получили широкое применение в самых различных областях техники. Обычно в курсах математической физики излагаются общие методы решения, имеющие чисто теоретический характер и не дающие фактической возможности действительного нахождения решения таких задач, а также классические примеры точных решений для простейших случаев. В практических же проблемах техники часто встречаются задачи, где точное решение либо не может быть найдено, либо имеет настолько сложное строение, что им трудно пользоваться при расчётах.
Поэтому приближённые методы решения задач математической физики, в особенности метод сеток и вариационные методы, развитые в начале этого столетия, были встречены техниками с большим интересом и сразу получили широкое распространение. Основные достоинства приближённых методов состояли в том, что они являлись универсальными и эффективными, так как позволяли находить приближённое решение для широкого класса случаев и при применении требовали простых и вполне осуществимых вычислений.
Потребность в такой книге в настоящее время стала особенно острой, ввиду широкого применения приближённых методов в работе научных и технических институтов и учреждений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию..................................9
Глава I. Методы, основанные на представлении решения в виде бесконечного ряда
§1. Метод Фурье................................................................11
1. Задача Дирихле для прямоугольника ..............................11
2. Задачи Дирихле и Неймана для кольца в случае уравнения Лапласа........22
3. Пример бигармонической проблемы................................26
§2. Бесконечные системы уравнений............................29
1. Основные определения................................................29
2. Теоремы о сравнении систем ....................................30
3. Регулярные и вполне регулярные системы......................37
4. Приближенное решение регулярных систем......................44
5. Лимитанты. Различные обобщения регулярных систем .... 49
6. Краткий обзор других исследований, относящихся к бесконечным системам .....54
§3. Решение граничных задач с помощью неортогональных рядов........................56
1. Общие принципы........................................................56
2. Решение задачи о разложении произвольной функции по наперед заданным функциям с помощью ортогонализации..............57
3. Решение задачи о разложении произвольной функции но наперед заданным с помощью бесконечных систем уравнений ... 67
4. Пример 1. Смешанная граничная задача для уравнения Лапласа ...................................................69
5. Пример 2. Расчет защемленной пластинки.................74
§ 4. Применение двойных рядов к решению граничных задач..........................82
1. Постановка задачи. Основания метода............................82
2. Уравнение Пуассона для прямоугольника........................83
3. Применение к уравнениям четвертого порядка ..............86
§5. Улучшение сходимости рядов, получаемых при решении ........................91
1. Общие принципы, на которых основаны методы улучшения сходимости ..............91
2. Метод А. Н. Крылова улучшения сходимости тригонометрических рядов........ 93
3. Ряды Фурье с усиленной сходимостью..............100
4. Общие методы улучшения сходимости при приближенном решении граничных задач.....102
Глава II. Приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма
§ 1. Замена интегрального уравнения системой линейных уравнений...........................110
1. Основные определения........................110
2. Замена интегрального уравнения конечной системой линейных алгебраических уравнений.........111
3. Оценка погрешности, получающейся в результате замены интегрального уравнения системой линейных уравнений.......117
4. Пример ..................................121
§2. Метод последовательных приближений и аналитическое продолжение.......................124
1. Метод последовательных приближений..............174
2. Применение аналитического продолжения для приближенного решения интегральных уравнений..................131
§3. Применение интегральных уравнений к решению задачи Дирихле .............................133
1. Интегральное уравнение теории потенциала...........133
2. Метод Неймана.............................138
3. Метод Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова...........143
4. Пример ..................................149
§ 4. Решение интегральных уравнений с помощью замены произвольного ядра на вырожденное.....155
1. Интегральное уравнение с вырожденным ядром........155
2. Замена произвольного ядра вырожденным . . ...........157
3. Пример...................................160
4. Другая оценка погрешности .....................161
5. Метод моментов.............................165
6. Метод Бэтмена .............................170
Глава III. Метод сеток
§ 1. Выражения производных через разностные отношения, Соотношения между значениями функции в узлах сетки, гармоническим и бигармоническим операторами.........................179
1. Выражения производных через разностные отношения .... .............179
2. Соотношения между значениями функции в узлах сетки, oпepaтором Лапласа и бигармоническим оператором.............197
§2. Дифференциальные уравнения и соответствующие им уравнения в конечных разностях......208
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения..........208
2. Уравнения в частных производных эллиптического типа......................... 216
3. Граничные условия для уравнений в конечных разностях .................. 228
4. Уравнение .......................231
§3. Решение уравнений в конечных разностях.... 234
1. Существование и единственность решения............ 234
2. Два метода решения уравнений в конечных разностях. Примеры .............239
3. Оценка погрешности. Сходимость процесса ...........250
Глава IV. Вариационные методы
§1. Вариационные проблемы, связанные с важнейшими дифференциальными уравнениями....... 260
1. Задачи, приводящие к обыкновенному уравнению.......260
2. Вариационные задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона......................................266
3. Другие виды граничных условий..................269
4. Вариационные задачи, связанные с бигармоническим уравнением.........................................272
5. Вариационные проблемы, связанные с нахождением собственных чисел и собственных функций...................274
§2. Метод Ритца и метод В. Г. Галеркина..........277
1. Основная идея метола Ритца и метода Б. Г. Галеркина . . . 278
2. Применение методов Ритца и Б. Г. Галеркина к обыкновенным дифференциальным уравнениям....................282
3. Применение методов Ритца и Б. Г. Галеркина к решению уравнений в частных производных второго порядка....... . . 292
4. Применение к бигармоническому уравнению...............303
5. Применение к нахождению собственных значений и функций 312
§3. Приведение к обыкновенным дифференциальным уравнениям.................................323
1. Основные уравнения..........................326
2. Примеры нахождения первого приближения...........329
3. Примеры уточнения решения....................336
4. Пример применения метода к бигармоническому уравнению 341
5. Применение метода к нахождению собственных значений и собственных функций...............................344
§4. Оценка погрешности в вариационных методах и порядок сходимости их.....................346
1. Случай обыкновенных дифференциальных уравнений.....
2. Проблема сходимости минимальных последовательностей для уравнений эллиптического типа..357
3. Сходимость метода Ритца и метода приведения к обыкновенным уравнениям................366
Глава V. Конформное преобразование областей
§ 1. Введение....................................376
1. Конформное преобразование и уравнение Лапласа ......376
2. Преобразование односвязных областей..............378
3. Преобразование многосвязных областей..............380
§2. Свойство минимума площади при преобразовании области на круг.......................383
1. Экстремальное свойство функции, преобразующей область на круг.......................................383
2. Приложение метода Ритца......................385
3. Минимизация при помощи полиномов...............389
4. О сходимости последовательных приближений. Полнота системы координатных функций.....390
5. Внешние области............................393
§3. Свойство минимума длины контура при преобразовании области на круг.....................394
1. Экстремальное свойство преобразующей функции.......394
2. Применение метода Ритца......................396
3. Преобразование внешних областей.................398
§4. Ортогональные полиномы и конформное преобразование ...................................40Э
1. Полиномы, ортогональные на контуре...............400
2. Приложение к конформному преобразованию..........402
3. Полиномы, ортогональные в области................407
4. Приложение к конформному преобразованию....................408
§5. Разложение в ряд по степеням малого параметра в случае преобразования области на круг.....409
1. Постановка задачи. Приведение к системе уравнений .... 409
2. Метод последовательных приближений..............420
3. Конформное преобразование внешних областей ........425
§6. Разложение в ряд по степеням малого параметра в случае преобразования круга на область.... 433
1. Нормальное представление контура................433
2. Метод бесконечных систем.....................435
3. Примеры.................................439
4. Метод последовательных приближений для областей, близких
к кругу, контур которых задан неявным уравнением ......... 444
5. Метод последовательных приближений для областей, близких к таким, конформное преобразование круга на которые известно .......................................448
6. Метод последовательных приближений для кривых, заданных в параметрической форме.....452
7. Доказательство сходимости процесса последовательных приближений ..............455
8. Замечание об отображении круга на внешность кривой. Примеры................. 466
§ 7. Метод П. В. Мелентьева приближенного конформного преобразования.................472
1. Алгорифм последовательных приближений................475
2. Выбор первого приближения. Схемы вычислений.......481
3. Об отображении внешних областей.................493
4. Случай симметричных контуров. Примеры............495
§8. Функция Грина и конформное преобразование областей.............................500
1. Введение, функция Грина для задачи Дирихле.........500
2. Приближенное построение функции Грина............507
3. Функция Грина для задачи Неймана................512
4. Функция Грина для смешанной задачи..............518
§9. Приложение интегральных уравнений к конформному преобразованию...................523
1. Интегральное уравнение для преобразования внутренних областей ...............523
2. Замечания о решении интегрального уравнения и приближенном построении отображающей функции...............527
3. Интегральное уравнение для преобразования внешних областей..................529
4. Преобразование области на плоскость с параллельными разрезами ................533
5. Преобразование многосвязной области на плоскость с разрезами, лежащими на лучах, исходящих из одной точки.......539
§10. Отображение многоугольника на полуплоскость ......................................542
1. Вывод формулы Кристоффеля—Шварца............ . 542
2. Значение параметров, входящих в интеграл Кристоффеля — Шварца .................545
3. О методе Ньютона — Фурье для системы уравнений и о вычислении несобственных интегралов.......547
4. Примеры .................................550
5. Отображение полуплоскости на произвольный четырехугольник..................... 557
Глава VI. Принципы приложения конформного преобразования к решению основных задач для канонических областей
§1. Введение ................................... 566
1. О преобразовании оператора Лапласа...............566
2. О преобразовании бигармонического оператора. Формула Гурса. Связь бигармонических функций с плоской задачей теории упругости........ .............................567
3. Преобразование предельных условий...............576
4. Интегралы типа Коши; их вычисление..............579
§2. Задача Дирихле.............................584
1. Интеграл Пуассона...........................584
2. Интеграл Пуассона для внешности круга.............588
3. Задача Дирихле для полуплоскости ................................590
4. Задача Дирихле для кольца.....................590
5. Формула Шварца. Нахождение сопряженной гармонической функции......................................592
6. Решение уравнения Пуассона в круге...............595
§3. Задача Неймана.............................598
1. Формула Дини..............................598
2. Внешность окружности ........................600
3. Задача Неймана для полуплоскости................601
4. Задача Неймана для кольца.....................603
§4. Общая предельная задача для гармонических функций....................................604
1. Постановка задачи. Случай постоянных коэффициентов в предельном условии..........604
2. Задача Гильберта............................610
3. Общая предельная задача ......................613
§5. Основные задачи для бигармонических функций 618
1. Первая основная задача. Приведение к системе уравнений 618
2. Вторая основная задача. Приведение к системе уравнений 628
3. Первая основная задача. Приведение к функциональным уравнениям...................629
4. Вторая основная задача. Приведение к функциональным уравнениям............... 636
Глава VII. Метод Шварца
§ 1. Метод Шварца решения задачи Дирихле для случая суммы двух областей...................639
1. Метод Шварца в общем случае. Исследование сходимости 639
2. Случай линейного уравнения эллиптического типа. Оценка быстроты сходимости процесса Шварца для уравнения Лапласа 649
3. Приведение метода Шварца к решению системы интегральных уравнений последовательными приближениями.......... . 659
§ 2. Метод Шварца—Неймана решения задачи Дирихле для случая пересечения двух областей........664
1. Описание метода и исследование сходимости последовательных приближений.........664
2. Пример исследования сходимости метода Шварца—Неймана. Оценка быстроты сходимости в случае уравнения Лапласа.....667
3. Приведение метода Шварца — Неймана к решению системы интегральных уравнений последовательными приближениями .... 681
§3. Пример приложения метода Шварца...........685
Цитированная литература .............................. 698
Часть 1
Часть 2
