Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа: Учебное пособие для вузов.— 2-е изд., перераб. и доп.— М., 1988.— 400 с.
Книга состоит из трех разделов. Первый раздел представляет собой изложение теоретического материала, входящего в курс лекций, читаемых на механико-математическом факультете МГУ. Второй раздел книги содержит задачи по этому курсу, многие из которых предлагались на семинарских занятиях. Третий раздел содержит указания к решению задач.
Для студентов и аспирантов университетов, изучающих функциональный анализ; может быть использована преподавателями в качестве пособия при подготовке различных курсов анализа.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию........ 3
Предисловие.............. 7
Глава I. Сведения из теории множеств и топологии ..... 9
§ 1. Отношения. Аксиома выбора и лемма Цорна... 9
Теория (9). Задачи (187). Указания (288).
§ 2. Метрические пространства и их приложения ... 12
Теория (12). Задачи (190). Указания (291).
§ 3. Категории и функторы.........18
Теория (18). Задачи (193). Указания (295).
Глава ІІ. Теория меры и интеграла......23
§ 1. Теория меры............23
1. Алгебра множеств..........23
Теория (23). Задачи (199). Указания (298).
2. Продолжение меры..........25
Теория (25). Задачи (201). Указания (300).
3. Конструкции мер..........31
Теория (31). Задачи (203). Указания (302).
§ 2. Измеримые функции..........31
1. Свойства измеримых функций.......33
Теория (30). Задачи (205). Указания (304).
2. Сходимость измеримых функций......37
Теория (37). Задачи (207). Указания (306).
§ 3. Интеграл.............39
1. Интеграл Лебега...........39
Теория (39). Задачи (210). Указания (308).
2. Функции ограниченной вариации и интеграл Лебега — Стилтьеса...........44
Теория (44). Задачи (213). Указания (313).
3. Свойства интеграла Лебега........47
Теория (47). Задачи (216). Указания (316).
Глава III. Линейные топологические пространства и линейные операторы.........56
§ 1. Нормированные пространства...... . 56
1. Основные определения....... 56
Теория (56). Задачи (219). Указания (319).
2. Сопряженные пространства ......59
Теория (59). Задачи (221). Указания (321).
3. Операторы в нормированных пространствах....60
Теория (60). Задачи (222). Указания (323).
4. Конструкции банаховых пространств.....62
Теория (62). Задачи (223). Указания (323).
§ 2. Линейные топологические пространства....63
1. Топология, выпуклость и полунормы.....63
Теория (63). Задачи (225). Указания (325)
2. Сопряженные пространства.......68
Теория (68). Задачи (228). Указания (327).
3. Теорема Хана — Банаха........69
Теория (69). Задачи (228). Указания (327).
§ 3. Линейные операторы..........73
1. Пространство линейных операторов.....73
Теория (73). Задачи (231). Указания (329).
2. Компактные множества и компактные операторы ...73
Теория (78). Задачи (232). Указания (330).
3. Теория фредгольмовых операторов.....84
Теория (84). Задачи (234). Указания (332).
§ 4. Функциональные пространства и обобщенные функции 93
1. Пространства интегрируемых функций....93
Теория (93). Задачи (238). Указания (334).
2. Пространства непрерывных функций....94
Теория (94). Задачи (240). Указания (337).
3. Пространства гладких функций......97
Теория (97). Задачи (243). Указания (341).
4. Обобщенные функции.........107
Теория (107). Задачи (246). Указания (344).
5. Действия над обобщенными функциями......111
Теория (111). Задачи (247). Указания (345).
§ 5. Гильбертовы пространства..... 115
1. Геометрия гильбертова пространства.....115
Теория (115). Задачи (249). Указания (346).
2. Операторы в гильбертовом пространстве....122
Теория (122). Задачи (252). Указания (348).
Глава IV. Преобразование Фурье и элементы гармонического анализа ......128
§ 1. Свертки на коммутативной группе......128
1. Свертки основных функций .......... 128
Теория (128). Задачи (257). Указания (351).
2. Свертки обобщенных функций ......... 133
Теория (133). Задачи (260). Указания (353).
§ 2. Преобразование Фурье.....133
1. Характеры коммутативной группы.....138
Теория (138). Задачи (261). Указания (354).
2. Ряды Фурье............143
Теория (143). Задачи (264). Указания (356).
3. Интеграл Фурье ........145
Теория (145). Задачи (266). Указания (359).
4. Преобразование Фурье обобщенных функций.....150
Теория (150). Задачи (269). Указания (362).
Глава V. Спектральная теория операторов.....153
§ 1. Функциональное исчисление........153
1. Функции операторов в конечномерном пространстве 153
Теория (153). Задачи (270). Указания (363).
2. Функции ограниченных самосопряженных операторов ..............155
Теория (155). Задачи (273). Указания (365).
3. Неограниченные самосопряженные операторы.....162
Теория (162). Задачи (275). Указания (366).
4. Расширения операторов........166
Теория (166). Задачи (277). Указания (367).
§ 2. Спектральное разложение операторов.....171
1. Приведение оператора к виду умножения на функцию ....171
Теория (171). Задачи (278). Указания (369).
2. Спектральная теорема.........175
Теория (175). Задачи (280). Указания (370).
§ 3. Математическая модель квантовой механики .....180
Теория (180). Задачи (284). Указания (372).
Послесловие.... 379
Основная литература ........... 385
Дополнительная литература ......... 387
