Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). - М., 1968. - 501с.
Автор книги Лотар Коллатц является известным специалистом в области прикладной математики, относящейся главным образом к задачам технической механики. В данной книге рассматриваются задачи на собственные значения, связанные с проблемой потери устойчивости, упругими колебаниями и др. При этом акцент делается не на физическое, а на математическое содержание задач; особое внимание уделяется вычислительным методам.
Рассмотрение общей теории (функции Грина, интегральные уравнения, теорема разложения, вариационные принципы) проведено в простой форме и содержит ряд оригинальных черт.
Значительное внимание уделяется развитому автором методу последовательных приближений, численной реализации вариационных принципов, задачам для матриц. Излагаются конечно-разностные и другие методы, представляющие интерес для лиц, занимающихся задачами на собственные значения.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Перечень таблиц ......................................................д
Предисловие редактора перевода ......................................11
Введение и краткий обзор......................................15
ГЛАВА ПЕРВАЯ. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Проблема устойчивости.................... 18
1.1 продольный изгиб стержня, защемленного на одном конце (18). 1.2. Продольный изгиб стержня, защемленного на одном конце и шарнирно опертого на другом (20). 1.3. Продольный изгиб стержня с учетом собственного веса (21). 1.4. Сжатый стержень на упругом основании (22). 1.5, Опрокидывание консольной балки при изгибе (23). 1.6. Кручение и опрокидывание двутавровой балки (25). 1.7. Сжатие и кручение вала (26). 1.8. Выпучивание круговой арки (28).
§ 2. Задачи о колебаниях...................... 30
2.1. Колебания свободно подвешенного каната (30). 2.2. Крутильные колебания стержней (33). 2.3. Изгибные колебания стержня (34). 2.4. Пример физической задачи с отрицательными собственными значениями (36). 2.5. Колебания стержня с учетом влияния собственного веса (38). 2.6. Критическое число оборотов вала с гироскопическим эффектом (39). 2.7. Крутильные колебания диска (41).
§ 3. Дополнения........................... 43
3.1. Задачи на собственные значения и проблема ветвления (43). 3.2. Системы дифференциальных уравнений (44). 3.3. Другие краевые условия, соотношение между значениями на обоих концах (45). 3.4. Задачи на собственные значения для уравнений с частными производными (45). 3.5. Упражнения (47).
ГЛАВА ВТОРАЯ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА § 4. Основные сведения о задачах на собственные значения .... 54
Различные случаи распределения собственных значений (54). 4.2. Обозначения (59), 4.3. Самосопряженность (61). 4.4. Обобщенная ортогональность (64). 4.5. Вещественность
собственных значений (66). 4.6. Формула Дирихле (68). 4.7. Одночленный класс (69).
4.8. Пример самосопряженной задачи с невещественными собственными значениями (70).
4.9. Определенность задачи на собственные значения (71).
§ 5. Функция Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений ................................ 75
5.1. Определение функции Грина (75). 5.2. Вывод формулы решения для краевой задачи (77). 5.3. Построение функции Грина из фундаментальной системы (78). 5.4. Симметрия функции Грина G для самосопряженной краевой задачи (82). 5.5. Простые примеры функции Грина (85). 5.6. Резольвента Грина для несобственных значений (86). 5.7. Условия существования собственных значений (87). 5.8. Поведение резольвенты Грина в точках собственных значений К (90). 5.9. Кратные собственные значения (92). 5.10. Полуопределенные задачи на собственные значения (95).
§ 6. Функция Грина для уравнений с частными производными . . 95
6.1. Основные понятия (96). 6.2. Частный класс задач (97), 6.3. Функция Грнна, предварительные замечания (100). 6.4. Решение краевой задачи при помощи функции Грина (102). 6.5. Другие типы уравнений с частными производными (104).
§ 7. Связь с интегральными уравнениями.............105
7.1. Одночленный класс и интегральные уравнения (105). 7.2. Выводы из теории интегральных уравнений (108), 7.3. Применение к одночленному классу (111). 7.4. Интегральные уравнения и дифференциальные уравнения с частными производными (ИЗ). 7.5. Одночленный класс н интегральное уравнение Вольтерра (116). 7.6. Пример (120). 7.7. Асимптотическое распределение собственных значений (121). 7.8. Упражнения (125).
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. КРАТКИЙ ОЧЕРК МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
§ 8. Минимальные свойства собственных значений.........131
8.1. Минимальное свойство наименьшего собственного значения (131). 8.2. Проведение доказательства (132). 8.3. Минимальные свойства высших собственных значений (135). 8.4. Минимаксимальный принцип Куранта (138). 8.5. Теорема сравнения (140).
§ 9. Теорема включения.......................142
9.1. Формулировка теоремы (142). 9.2. Пример к теореме включения (143). 9.3. Доказательство теоремы включения (145). 9.4. Сравнение с задачами, разрешимыми в замкнутом виде (146).
§ 10 Теорема о разложении.....................147
10.1. Предварительные замечания (147). 10.2. Коэффициенты Фурье (148). 10.3. Формула Парсеваля (149). 10.4. Вспомогательная теорема о некоторых рядах по собственным функциям (152). 10.5. Сходимость ряда Фурье (10.5) (155). 10.6. Теорема о разложении. Доказательство в случае (156). 10.7. Замечание (157). 10.8. Теорема о разложении. Завершение доказательства для /і>0 (159).
§ 11. Дополнения..............................160
11.1. Элементарное обоснование минимальных свойств в случае уравнений второго порядка (160). 11.2. Минимальные свойства собственных значений в случае уравнений с частными производными (166). 11.3. Двупараметрические задачи на собственные значения, кривые собственных значений (170). 11.4. Упражнения (171).
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
§ 12. Постоянные Шварца......................176
12.1. Метод последовательных приближений в общем случае (176). 12.2. Введение постоянных Шварца а и отношений (177). 12.3. образуют монотонную невозрастающую последовательность (180). 12.4. Нижняя граница для первого собственного значения (181). 12.5. Практическое проведение метода (185). 12,6. Примеры применения метода последовательных приближений (187).
§ 13. Графическое интегрирование .................189
13.1. графическое однократное интегрирование (189). 13.2. Переменное полюсное расстояние (192). 13.3. Графическое двукратное интегрирование (194). 13.4. Особый случай обыкновенного веревочного многоугольника (197). 13.5. Учет краевых условий (197). 13.6. Графическое проведение метода последовательные приближений (199). 13.7. Графическое определение Ці (201).
§ 14. Дополнения..........................204
14.1. Метод последовательный приближений для дифференциальных уравнений с частными производными (204). 14.2. Теорема включения Крылова—Боголюбова для одночленного класса (206). 1.4.3. Доказательство основной формулы (12.19) при помощи теоремы о разложении (209). 14.4. Сходимость итерационного процесса для краевых задач (212). 14.5. Метод Кохк для высших собственных значений (214).14.6. Упражнения (215).
ГЛАВА ПЯТАЯ. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МИНИМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ
§ 15. Основы метода Ритца .....................221
15.1. Три минимальных принципа (221). 15.2. Общий метод Ритца (224). 15.3. Уравнения Галеркииа (225) 15.4. Свелёние к вековому уравнению (227). 15.5. Линейное представление в случае минимального принципа Камке (231). 15.6. Уравнения Граммеля (232). 15.7. Численные примеры (234). 15.8. Приближения Ритца для высших собственных значений 238).
§ 16. Дальнейшее развитие метода Ритца..............240
16.1. Вариационные уравнения Эйлера (240). 16.2. Пример. Задача на собственные значения (244). 16.3. Обратная постановка задачи и метод Ритца (245). 16.4. Энергетический метод для задач о колебаниях (246). 16.5. Изгибные колебания (248). 16.6. Пример. Крутильные колебания (250). 16.7. Энергетический метод для дифференциальных уравнений с частными производными (253). 16.8. Проблема потерн устойчивости (255). 16.9. Графическое проведение метода Ритца (255). 16.10. Графическое получение уравнений Граммеля (256). 16.11. Упражнения (260).
ГЛАВА ШЕСТАЯ. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ МАТРИЦ
§ 17. Основные сведения о задачах на собственные значения для матриц...............................267
17.1. Обозначения (267). 17,2. Матрицы с особыми свойствами (268). 17.3. Квадратичные и эрмитовы формы (269). 17.4. Вещественность характеристических чисел (275). 17.5. Обобщенная унитарность собственных векторов (277), 17,6. Примеры промежуточных
задач на собственные значения из механики (278). 17.7. Примеры общих задач на собственные значения из механики (284). 17.8. Эрмитова самосопряженность в случае интегро-дифференциальных уравнений (291).
§ 18. Экстремальные свойства характеристических чисел.....295
18.1. Определение характеристических чисел при помощи задач на максимум (296). 18.2. Приведение к главным осям (298). 18.3. Выводы и оценки (301). 18.4. Одновременное приведение к главным осям двух эрмитовых форм (304). 18.5. Пример. Геометрическая интерпретация собственных векторов двух квадратичных форм (308). 18.6. Мииимаксимальный принцип Куранта (309). 18.7. Теорема включения (311). 18.8. Численное применение теоремы включения (313).
§ 19. Итерационный метод и главные векторы...........315
19.1. Итерационный метод в общем случае (315). 19.2. Нижняя и верхняя границы для характеристических чисел (321). 19.3. Понижение порядка (323). 19.4. Численный пример (325). 19.5. Введение главных векторов (328). 19.6. Доказательство теоремы о разложении (330) 19.7. Сходимость итерационного мeтoдa для частных задач на собственные значения (332). 19.8 О степенях матрицы (333). 19.9. Системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (334). 19.10. Постоянные коэффициенты и главные векторы (337).
§ 20. Дополнения..........................339
20.1. Матричные полиномы и уравнение Кэли (339). 20.2. Функции матриц и степенные ряды матриц (342). 20. 3. Приближенные решения систем линейных уравнений (345). 20.4. Оценки характеристических чисел матриц (348). 20.5, Особые методы получения характеристического уравнения (352) 20.6. Упражнения (354).
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
§ 21. Метод конечных разностей первого приближения для обыкновенных дифференциальных уравнений...............359
21.1. Описание метода конечных разностей (359). 21.2. Пример для дифференциального уравнения второго порядка (361), 21.3. Пример для дифференциального уравнения четвертого порядка (363). 21.4. Прямые методы для разностных уравнений (365).
21.5. Минимальное свойство наименьшего собственного значения в методе конечных разностей (367).
§ 22. Улучшение метода конечных разностей............368
22.1. Конечные выражения (369). 22.2. Метод конечных разностей повышенной точности (371). 22.3. Пример разностного метода повышенной точности (372).
22.4. Вспомогательные формулы для многоточечного метода (372). 22.5. Пример (375).
22.6. Метод в общем случае (376).
§ 23. Метод конечных разностей для уравнений с частными производными ...............................378
23.1. Обыкновенный метод конечных разностей и метод первого приближения (378).
23.2. Пример. Собственные колебания эллиптической мембраны (380). 23.3. Метод конечных разностей повышенной точности (381). 23.4. Многоточечный метод (383).
23.5. Примеры. Колебания мембраны (386). 23.6. Упражнения (393).
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. РАЗЛИЧНЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ
§ 24. Метод возмущений.......................401
24.1. Описание метода (401). 24.2. Кратные собственные значения (405). 24.3. Связь с принципом Рэлея (407). 24.4. Пример к методу возмущений. Продольный изгиб тяжелых стержней (409).
§ 25. Другие методы.........................411
25.1. Формула Данкерлея для сложных систем (411). 25.2. Формула Саусвелла (412). 25.3. Минимум среднеквадратичной ошибки (413). 25.4. Метод коллокаций (414).
25.5. Разложение в непрерывную дробь. Дифференциальное уравнение Матье (417).
25.6. Представление в виде ряда (420). 25.7. Упражнения (421).
Рекомендации по выбору методов приближенного вычисления собственных значений.............................427
Приложение. Перечень рассмотренных примеров. Таблицы......429
Дополнительная литература ...................... 501
Часть 1
Часть 2
