Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М., 2001. — 608 с.
Рассмотрены различные математические вопросы, возникающие при численном решении гиперболических систем уравнений в частных производных. Материал представлен в тесной взаимосвязи с такими важными областями применения этих систем, как теория мелкой воды, газовая динамика, магнитная гидродинамика, динамика твердого деформируемого тела и ряд неклассических областей механики сплошной среды. Отличительной чертой книги является то, что она фокусирует внимание на приложениях, традиционных и новых. Это делает ее полезной не только для интересующихся численными методами, но также для механиков, физиков и инженеров, которым приходится решать нелинейные системы дифференциальных уравнений все возрастающей сложности.
Для специалистов в различных областях механики, физики и прикладной математики, аспирантов и студентов старших курсов, сталкивающихся с необходимостью решения гиперболических систем уравнений.
Оглавление
Введение 8
1. Гиперболические системы уравнений в частных производных 11
1.1. Квазилинейные системы ................................................................11
1.2. Гиперболические системы квазилинейных уравнений................................12
1.2.1. Определения......................................................................12
1.2.2. Системы законов сохранения....................................................15
1.3. Механические примеры..................................................................17
1.3.1. Нестационарные уравнения газовой динамики................................17
1.3.2. Стационарные уравнения Эйлера................................................20
1.3.3. Уравнения теории мелкой воды..................................................22
1.3.4. Уравнения идеальной магнитной гидродинамики..............................23
1.3.5. Уравнения теории упругости....................................................27
1.4. Свойства решений........................................................................28
1.4.1. Классические решения............................................................29
1.4.2. Обобщенные решения............................................................34
1.4.3. Разрывы малой амплитуды......................................................37
1.4.4. Условия эволюционности разрывов..............................................39
1.4.5. Поведение энтропии на разрывах................................................41
1.5. Распад произвольного разрыва..........................................................42
2. Численное решение квазилинейных гиперболических систем 45
2.1. Введение..................................................................................46
2.2. Методы, основанные на точном решении задачи Римана..............................52
2.2.1. Численный метод Годунова первого порядка точности........................53
2.2.2. Точное решение задачи Римана..................................................55
2.3. Численные методы, основанные на приближенных решениях задачи Римана ... 58
2.3.1. Схемы типа Куранта-Изаксона-Риса (КИР)....................................59
2.3.2. Схема Роу.........................................................................77
2.3.3. Схема Ошера......................................................................80
2.4. Обобщенная задача Римана..............................................................87
2.5 Метод типа Годунова второго порядка точности......................................90
2.6. Многомерные схемы и условия их устойчивости......................................95
2.7. Реконструкция функций и ограничители ..............................................99
2.7.1. Предварительные замечания......................................................99
2.7.2. TVD-схемы........................................................................101
2.7.3. Монотонная и предельная реконструкции......................................103
2.7.4. TVD-реконструкция. Предельная TVD-реконструкция........................110
2.7.5. TVD-ограничители на несимметричном шаблоне..............................117
2.7.6. Многомерная реконструкция....................................................119
2.8. Граничные условия для гиперболических систем......................................126
2.8.1. Общие понятия....................................................................126
2.8.2. Неотражающие граничные условия..............................................128
2.8.3. Эволюционные граничные условия..............................................132
2.9. Методы с выделением разрывов........................................................134
2.9.1. Выделение плавающих разрывов................................................134
2.9.2. Выделение разрывов на подвижных сетках....................................138
2.10. Энтропийная коррекция.................................................................139
2.11. Заключительные замечания..............................................................144
3. Уравнения газовой динамики 147
3.1. Системы уравнений......................................................................147
3.1.1. Уравнения двухтемпературной газовой динамики..............................152
3.1.2. Смесь идеальных химически реагирующих газов..............................155
3.2. Метод Годунова для уравнений газовой динамики....................................157
3.3. Точное решение газодинамической задачи Римана....................................160
3.3.1. Элементарное решение 1: ударная волна........................................160
3.3.2. Элементарное решение 2: тангенциальный разрыв............................163
3.3.3. Элементарное решение 3: волна разрежения....................................164
3.3.4. Точное решение общего вида....................................................167
3.3.5. Учет уравнения состояния общего вида........................................177
3.4. Численные методы, основанные на приближенных решениях задачи Римана ... 181
3.4.1. Схемы типа КИР для уравнения состояния общего вида......................182
3.4.2. Моделирование явлений, вызванных ударными волнами......................185
3.4.3. Моделирование струй в лазерной плазме........................................190
3.4.4. Схема Роу.........................................................................195
3.4.5. Метод Роу для уравнения состояния общего вида...............203
3.4.6. Метод Ошера-Соломона.............................205
3.5. Методы с выделением разрывов............................209
3.5.1. Разрывы как границы вычислительной области................209
3.5.2. Выделение плавающих разрывов........................220
3.5.3. Выделение разрывов движущимися сетками..................223
3.5.4. Самоподстраивающиеся подвижные сетки...................225
3.6. Стационарные уравнения газовой динамики.....................232
3.6.1. Система уравнений................................232
3.6.2. Метод Годунова. Конечно-объемные схемы КИР и Роу............236
3.6.3. Элементарные решения задачи Римана.....................239
3.6.4. Точное решение общего вида..........................247
3.7. Взаимодействие солнечного ветра с межзвездной средой..............249
3.7.1. Взаимодействие нестационарного (периодического) звездного ветра с межзвездной средой: постановка задачи....................250
3.7.2. Неотражающие граничные условия.......................256
3.7.3. Взаимодействие периодического звездного ветра с межзвездной средой: численные результаты..............................258
3.7.4. Взаимодействие солнечного ветра с неоднородной межзвездной средой. . 263
3.8. Замечание о методах Годунова в релятивистской гидродинамике..........267
Часть 1
4. Уравнения теории мелкой воды 268
4.1. Системы уравнений...................................268
4.2. Метод Годунова для уравнений теории мелкой воды.................272
4.3. Точное решение гидродинамической задачи Римана.................276
4.3.1. Элементарное решение 1: гидравлический скачок (бор)...........277
4.3.2. Элементарное решение 2: тангенциальный разрыв..............280
4.3.3. Элементарное решение 3: волна Римана....................280
4.3.4. Точное решение общего вида..........................287
4.4. Результаты численных расчетов, проведенных методом Годунова .........293
4.5. Численные методы, основанные на приближенных решениях задачи Римана ... 305
4.5.1. Разностные схемы типа Куранта-Изаксона-Риса (КИР)...........305
4.5.2. Схема Роу.....................................307
4.5.3. Схема Ошера-Соломона.............................311
4.6. Стационарные уравнения теории мелкой воды....................312
4.6.1. Система уравнений................................312
4.6.2. Метод Годунова. Конечно-объемные схемы КИР и Роу............315
4.6.3. Элементарные решения задачи Римана.....................317
4.6.4. Точное решение общего вида..........................325
5. Уравнения магнитной гидродинамики 327
5.1. Консервативная форма МГД-системы.........................328
5.2. Классификация МГД-разрывов.............................334
5.3. Эволюционные МГД ударные волны..........................338
5.3.1. Диаграмма эволюционности...........................338
5.3.2. Удобная форма соотношений на МГД ударных волнах............340
5.3.3. Эволюционность перпендикулярных и параллельных ударных волн и волн включения и выключения............................341
5.3.4. Точки Жуге....................................343
5.4. Методы высокого разрешения разрывов для МГД-уравнений............344
5.4.1. Метод типа Ошера................................345
5.4.2. Кусочно-параболический метод.........................347
5.4.3. Метод характеристического расщепления Роу.................348
5.4.4. Численные тесты схем типа Роу........................355
5.4.5. Модифицированная МГД-система.......................373
5.5. Метод сквозного счета и неэволюционные решения в магнитной гидродинамике . 378
5.5.1. Предварительные замечания..........................378
5.5.2. Упрощенная МГД-система и связанные с ней разрывы............382
5.5.3. Структура ударных волн в решениях упрощенной системы.........384
5.5.4. Нестационарные процессы в структуре неэволюционных ударных волн. . 385
5.5.5. Численные эксперименты, основанные на полной МГД-системе..............387
5.5.6. Численный распад составной МГД-волны...................389
5.6. Сильное фоновое магнитное поле...........................396
5.7. Исключение численного магнитного заряда......................399
5.7.1. Предварительные замечания...........................399
5.7.2. Применение векторного потенциала......................400
5.7.3. Использование искусственного скалярного потенциала............401
5.7.4. Использование модифицированной МГД-системы..............402
5.7.5. Применение смещенных сеток.........................403
5.8. Взаимодействие солнечного ветра с намагниченной межзвездной средой.....408
5.8.1. Постановка задачи................................409
5.8.2. Вычислительный алгоритм...........................411
5.8.3. Численные результаты: осесимметричный случай...............415
5.8.4. Численные результаты: возмущенное течение.................421
5.8.5. Замечание о МГД-течении около бесконечно проводящего цилиндра. . . . 424
5.8.6. Численные результаты: трехмерное моделирование..............427
6. Динамика твердого деформируемого тела 431
6.1. Системы уравнений...................................432
6.1.1. Простейшая модель твердого деформируемого тела.............433
6.1.2. Квазиконсервативные формы уравнений динамики деформируемых тел. . 445
6.1.3. Динамика тонких оболочек...........................448
6.2. Схемы типа КИР в динамике твердого деформируемого тела............452
6.2.1. Численное исследование процессов откола..................457
6.3. Схемы типа КИР в динамике тонких оболочек....................463
6.3.1. Уравнение Клейна-Гордона...........................471
6.3.2. Уравнения динамики изотропных оболочек..................471
6.3.3. Уравнения динамики ортотропной оболочки..................473
6.3.4. Выделение быстро осциллирующих компонент................474
7. Неклассические разрывы и решения гиперболических систем 478
7.1. Условия эволюционности разрывов в неклассических случаях...........480
7.2. Структура фронтов. Дополнительные граничные условия на фронтах.......483
7.2.1. Уравнения, описывающие структуру разрыва.................484
7.2.2. Постановка задачи о структуре и дополнительные предположения.....487
7.2.3. Поведение решений при Е, —» ±оо.......................488
7.2.4. Дополнительные соотношения на разрывах..................490
7.2.5. Основной результат и его обсуждение.....................492
7.2.6. Замечание о выводе дополнительных соотношений при нарушении условия непрерывности структуры ударной волны.................493
7.2.7. Адиабата Гюгонио................................494
7.3. Поведение ударной адиабаты в окрестности точек Жуге и неединственность автомодельных решений...................................499
7.4. Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах...............503
7.4.1. Основные уравнения...............................503
7.4.2. Квазипродольные волны.............................506
7.4.3. Квазипоперечные волны.............................506
7.4.4. Подобие нелинейных явлений....................................................508
7.4.5. Волны Римана......................................................................508
7.4.6. Ударные волны..................................509
7.4.7. Автомодельные задачи и неединственность решения.............511
7.4.8. Волны в вязкоупругих средах. Исчезающая вязкость.............513
7.4.9. Роль волновой анизотропии и переход к изотропному пределу........516
7.4.10. Заключительные замечания...........................517
7.5. Электромагнитные ударные волны в ферромагнетиках ...............518
7.5.1. Приближение длинных волн. Упругая аналогия................519
7.5.2. Структура электромагнитных ударных волн..................522
7.5.3. Множество допустимых разрывов.......................528
7.5.4. Неединственность решений...........................528
7.6. Ударные волны в упругих композитных материалах.................529
7.6.1. Основные уравнения и структура разрыва...................530
7.6.2. Структура разрыва. Допустимые разрывы...................531
7.6.3. Случай /7 > 0...................................532
7.6.4. Случай /7 < 0...................................536
7.7. Продольные нелинейные волны в упругих стержнях.................537
7.7.1. Крупномасштабная модель...........................537
7.7.2. Модель движений умеренного масштаба....................539
7.7.3. Уравнения, описывающие структуру разрыва.................539
7.7.4. Допустимые разрывы..............................540
7.7.5. Уточненная крупномасштабная модель. Неединственность.........544
7.8. Фронты ионизации в магнитном поле.........................544
7.8.1. Крупномасштабная модель...........................544
7.8.2. Модель для умеренных масштабов.......................546
7.8.3. Множество допустимых разрывов.......................548
7.8.4. Простейшая автомодельная задача.......................552
7.8.5. Изменение скорости газа во фронтах ионизации...............553
7.8.6. Построение решения задачи о поршне.....................557
7.9. Заключение........................................559
Список литературы 561 Часть 2
