Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М., 1968.
В данном пособии излагаются современная теория множеств и на ее основе теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного и основы функционального анализа.
Книга предназначается для студентов педагогических институтов в качестве учебного пособия по новому курсу, введенному в учебный план под названием: «Дополнительные главы математического анализа». Утвержденная Министерством просвещения РСФСР программа этого курса состоит из трех вариантов. Содержание каждого из них включает в себя соответственно материал I и II, I и III, II и III частей книги. Часть I в основном совпадает со вторым изданием книги автора «Теория функций действительного переменного».
Содержание
Предисловие ..................................... 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава I. Общая теория множеств..................... 4
§ 1. Понятие множества........................... 4
§ 2. Конечные и бесконечные множества................ 5
§ 3. Подмножества, включение....................... 6
§ 4. Теоретико-множественные операции................. 6
§ 5. Эквивалентность множеств....................... 10
§ 6. Понятие мощности. Кардинальные числа.............. 11
§ 7. Сравнение мощностей.......................... 12
§ 8. Существование сколь угодно высоких мощностей........ 15
§ 9. Счетные множества........................... 16
Упражнения к главе I............................... 22
Глава II. Теория точечных множеств........ 24
§ 1. Множества рациональных чисел................... 24
§ 2. Множество действительных чисел................. 25
§ 3. Множество мощности континуума................. 28
§ 4. Множества пространства Еп..................... 32
§ 5. Предельные точки........................... 35
§ 6. Замкнутые и открытые множества................. 40
§ 7. Строение линейных открытых и замкнутых множеств..... 47
§ 8. Множество Кантора и его свойства................ 52
§ 9. Мощность совершенного множества................ 54
§ 10. Точки конденсации. Мощность несчетного замкнутого множества ............. 55
Упражнения к главе II.............................. 58
Глава III. Функции............................... 61
§ 1. Общее понятие функции........................ 61
§ 2. Верхняя и нижняя грани функции. Колебание.......... 62
§ 3. Непрерывность....................*......... 66
§ 4. Основные свойства непрерывных функций............ 70
§ 5. Точки разрыва . ............................ 74
§ 6. Точки разрыва монотонной функции................ 79
§ 7. Функции с ограниченным изменением................ 81
Упражнения к главе III.............................. 88
Глава IV. Непрерывные кривые...................... 91
§ 1. Понятие непрерывной кривой..................... 91
§ 2. Кривые Жордана......................... 93
§ 3. Кривые Пеано............................... 93
§ 4. Кривые Кантора и Урысона...................... 94
§ 5. Спрямляемые кривые.......................... 96
Упражнения к главе IV.............................. 99
Глава V. Мера.................................. 160
§ 1. Мера Жордана для линейных множеств.............. 100
§ 2. Мера Жордана для множества Еп. Квадрируемые и кубируе-
мые множества ................. 106
§ 3. Мера Лебега для линейных множеств................ ПО
§ 4. Свойства множеств, измеримых по Лебегу............ 116
§ 5. Измеримые функции........................... 122
Упражнения к главе V.............................. 124
Глава VI. Интеграл.............................. 125
§ 1. Интеграл Римана............................. 125
§ 2. Теорема Лебега.............................. 131
§ 3. Интеграл Стилтьеса........................... 135
§ 4. Интеграл Лебега............................. 139
Упражнения к главе VI.............................. 143
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Глава VII. Метрические пространства.................. 146
§ 1. Основные понятия............................ 146
§ 2. Примеры метрических пространств.................. 148
§ 3. Полнота метрических пространств.................. 149
§ 4. Теорема о замкнутых шарах...................... 152
§ 5. Метод сжатых отображений...................... 153
§ 6. Применение метода сжатых отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений................ 155
§ 7. Применение метода сжатых отображений в алгебре...... 156
§ 8. Применение метода сжатых отображений в математическом
анализе................................... 157
Упражнения к главе VII............................. 159
Глава VIII. Сепарабельность и компактность............. 159
§ 1. Сепарабельность пространств L2 и Lp.............. 159
§ 2. Сепарабельность пространства Lp.................. 161
§ 3. Пространство т как пример несепарабельного пространства. . 162
§ 4. Компактность множеств пространства.............. 163
§ 5. Общий критерий компактности.................... 164
§ 6. Компактность множеств в пространстве С............. 165
§ 7. Компактность множеств в пространстве Lp............. 168
§ 8. Компактность множеств в пространстве Lp............ 169
Глава IX. Непрерывные функционалы и операторы......... 170
§ 1. Непрерывные функционалы...................... 171
§ 2. Общие свойства непрерывных функционалов........... 172
§ 3. Равномерная непрерывность функционала............. 173
§ 4. Непрерывные операторы........................ 175
§ 5. Свойства непрерывных операторов................. 176
Упражнения к главе IX. . .......................... 177
Глава X. Линейные функционалы, линейные операторы...... 178
§ 1. Линейные пространства......................... 173
§ 2. Линейные функционалы........................ 180
§ 3. Свойства линейных функционалов.................. 182
§ 4. Слабая сходимость линейных функционалов............ 184
§ 5. Линейные операторы........................... 187
§ 6. Свойства линейных операторов.................... 189
Упражнения к главе X.............................. 191
Глава XI. Применения функционального анализа в вариационном исчислении............ 191
§ 1. Дифференциал, вариация линейного функционала........ 192
§ 2. Экстремум дифференцируемого функционала........... 193
§ 3. Уравнение Эйлера............................ 194
§ 4. Решение задачи о брахистохроне................... 196
§ 5. Задача о наименьшей поверхности вращения........... 199
§ б. О других применениях функционального анализа в вариационном исчислении............. 200
Упражнения к главе XI.............................. 201
Глава XII. Применения функционального анализа в теории интегральных уравнений.......... 202
§ 1. Вопрос о существовании решения интегрального уравнения.....202
§ 2. Вполне непрерывные операторы................... 204
§ 3. Теорема В. В. Немыцкого....................... 204
§ 4. Линейные интегральные уравнения................. 206
§ 5. Собственные значения, спектр.................... 207
§ 6. Метод последовательных приближений, построение резольвенты ............. 208
Упражнения к главе XII............................ 211
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава XIII. Гармонические функции................... 213
§ 1. Основные определения......................... 213
§ 2. Свойства гармонических функций и гармонических пар........215
§ 3. Теорема Дзядыка............................. 217
§ 4. Понятие конформного отображения................. 217
§ 5. Конформность отображения гармонической парой........ 218
§ 6. Коэффициент растяжения........................ 220
Упражнения к главе XIII............................. 223
Глава XIV. Комплексные числа, последовательности, ряды ....224
§ 1. Комплексное число как оператор.................. 224
§ 2. Плоскость Гаусса............................ 226
§ 3. Тригонометрические и алгебраические формы комплексного числа............ 227
§ 4. Действия над комплексными числами................ 227
§ 5. Числовые последовательности и ряды................ 230
§ 6. Признак Коши — Адамара....................... 232
§ 7. Степенные ряды............................. 233
Упражнения к главе XIV............................. 237
Глава XV. Функции комплексного переменного, аналитические функции........... 238
§ 1. Непрерывность функции комплексного переменного...... 239
§ 2. Дифференцируемость функции комплексного переменного . . 241
§ 3. Определение и свойства аналитической функции........ 242
§ 4. Конформность отображения аналитической функции...... 243
Упражнения к главе XV............................. 244
Глава XVI. Элементарные аналитические функции, конформные отображения.............. 244
§ 1. Линейная функция............................ 244
§ 2. Бесконечно удаленная точка...................... 245
§ 3. Функция f(z)=1/z............................ 246
§ 4. Дробно-линейная функция....................... 247
§ 5. Степенная функция. Поверхность Римана............. 248
§ 6. Показательная функция......................... 250
§ 7. Тригонометрические функции..................... 253
§ 8. Гиперболические функции....................... 256
§ 9. Логарифмическая функция....................... 262
Упражнения к главе XVI................. 263
Глава XVII. Интеграл. Ряд Тейлора.................... 264
§ 1. Интеграл.................................. 264
§ 2. Существование и вычисление интеграла. Свойства интеграла. 265
§ 3. Теорема Коши............................... 267
§ 4. Интегральная формула Коши..................... 271
§ 5. Разложение аналитической функции в степенной ряд .....274
§ 6. Ряд Тейлора................................ 276
§ 7. Теорема единственности для аналитических функций...... 278
§ 8. Понятие об аналитическом продолжении.............. 280
§ 9. Определение класса аналитических функций........... 282
Упражнения к главе XVII............................ 284
Глава XVIII. О применениях теории функций комплексного переменного............ 285
§ 1. О применениях в математическом анализе............ 285
§ 2. О применениях в алгебре....................... 287
§ 3. О применениях в картографии.................... 288
§ 4. О применениях в гидро- и аэромеханике............. 290
§ 5. Функция Н. Е. Жуковского...................... 293
§ 6. Критерий Рауса — Гурвица...................... 294
Упражнения к главе XVIII............................ 300
Дополнительная литература ............................ 301
Алфавитный указатель............................... 303
Указатель специальных знаков.......................... 307
