Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1974.
Книга посвящена, в основном, функциям одной вещественной переменной. Лишь в трех главах (XI—XIII) рассматриваются функции многих переменных и функции множества. Книга содержит большое количество упражнении, и сравнительно легкие, доступные широкому кругу читателей, и значительно более трудные, которые могут служить хорошим материалом для студенческих математических кружков.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию .................... 7
Предисловие ко второму изданию...................... 8
Глава I. Бесконечные множества..................... 9
§ 1. Операции над множествами ................... 9
§ 2. Взаимооднозначное соответствие .............. 13
§ 3. Счетные множества........................ 16
§ 4. Мощность континуума...................... 20
§ 5. Сравнение мощностей ...................... 26
Глава II. Точечные множества ...................... 34
§ 1. Предельная точка ........................ 34
§ 2. Замкнутые множества ..................... 37
§ 3. Внутренние точки и открытые множества........... 41
§ 4. Расстояния и отделимость ...........44
§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств ......47
§ 6. Точки конденсации. Мощность замкнутого множества ....51
Глава III. Измеримые множества .................. 56
§ 1. Мера ограниченного открытого множества ........... 56
§ 2. Мера ограниченного замкнутого множества.......... 61
§ 3. Внешняя и внутренняя мера ограниченного множества ......65
§ 4. Измеримые множества......... 68
§ 5. Измеримость и мера как инварианты движения........ 72
§ 6. Класс измеримых множеств ................. 76
§ 7. Общие замечания о проблеме меры............... 80
§ 8. Теорема Витали.......................... 82
Глава IV. Измеримые функции...................... 86
§ 1. Определение и простейшие свойства измеримой функции......86
§ 2. Дальнейшие свойства измеримых функций .......... 90
§ 3. Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере.....92
§ 4. Структура измеримых функций................. 98
§ 5. Теорема Вейерштрасса ................. 103
Глава V. Интеграл Лебега от ограниченной функции......... 109
§ 1. Определение интеграла Лебега .... 109
§ 2. Основные свойства интеграла.................. 114
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла.......... 119
§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега............ 121
§ 5. Восстановление первообразной функции............ 126
Глава VI. Суммируемые функции..................... 129
§ 1. Интеграл неотрицательной измеримой функции........ 129
§ 2. Суммируемые функции любого знака.............. 136
§ 3. Предельный переход под знаком интеграла.......... 142
Глава VII. Функции, суммируемые с квадратом ............ 154
§ 1. Основные определения. Неравенства. Норма ......... 154
§ 2. Сходимость в среднем ...................... 157
§ 3. Ортогональные системы ..................... 163
§ 4. Пространство L2.......................... 172
§ 5. Линейно независимые системы.................. 179
§ 6. Пространства Lp и 1Р ...................... 183
Глава VIII. Функции с конечным изменением. Интеграл Стилтьеса ......191
§ 1. Монотонные функции....................... 191
§ 2. Отображение множеств. Дифференцирование монотонной функции......... 193
§ 3. Функции с конечным изменением........... 202
§ 4. Принцип выбора Хелли..................... 207
§ 5. Непрерывные функции с конечным изменением....... 210
§ 6. Интеграл Стилтьеса ....................... 213
§ 7. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса ....218
§ 8. Линейные функционалы..................... 222
Глава IX. Абсолютно непрерывные функции. Неопределенный интеграл Лебега .......... 226
§ 1. Абсолютно непрерывные функции................ 226
§ 2. Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных функций..... 229
§ 3. Непрерывные отображения................... 230
§ 4. Неопределенный интеграл Лебега................ 234
§ 5. Замена переменной в интеграле Лебега............ 242
§ 6. Точки плотности. Аппроксимативная непрерывность..... 245
§ 7. Добавления к теории функций с конечным изменением и интегралов Стилтьеса........ 248
§ 8. Восстановление первообразной функции............ 251
Глава X. Сингулярные интегралы. Тригонометрические ряды. Выпуклые функции......... 257
§ 1. Понятие сингулярного интеграла................ 257
§ 2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке.............261
§ 3. Приложения в теории рядов Фурье .............. 266
§ 4. Дальнейшие свойства тригонометрических рядов и рядов Фурье............... 273
§ 5. Производные Шварца и выпуклые функции......... 279
§ 6. Единственность разложения функции в тригонометрический ряд................ 289
Глава XI. Точечные множества в двумерном пространстве...... 300
§ 1. Замкнутые множества...........:........... 300
§ 2. Открытые множества....................... 302
§ 3. Теория измерения плоских множеств.............. 305
§ 4. Измеримость и мера как инварианты движения........ 312
§ 5. Связь меры плоского множества с мерами его сечений .... 318
Глава XII. Измеримые функции нескольких переменных и их интегрирование..............322
§ 1. Измеримые функции. Распространение непрерывных функций ........................ 322
§ 2. Интеграл Лебега и его геометрический смысл ........ 326
§ 3. Теорема Фубини ......................... 328
§ 4. Перемена порядка интегрирований............... 333
Глава XIII. Функции множества и их применения в теории интегрирования .......... 337
§ 1. Абсолютно непрерывные функции множества......... 337
§ 2. Неопределенный интеграл и его дифференцирование..... 342
§ 3. Обобщение полученных результатов .............. 344
Глава XIV. Трансфинитные числа .................... 348
§ 1. Упорядоченные множества. Порядковые типы. ....... 348
§ 2. Вполне упорядоченные множества .............. 352
§ 3. Порядковые числа ........................ 355
§ 4. Трансфинитная индукция .................... 358
§ 5. Второй числовой класс ...................... 359
§ 6. Алефы............................... 361
§ 7. Аксиома и теорема Цермело .................. 363
Глава XV. Классификация Бэра..................... 367
§ 1. Классы Бэра............................ 367
§ 2. Непустота классов Бэра..................... 372
§ 3. Функции 1-го класса...................... 377
§ 4. Полунепрерывные функции .................. 385
Глава XVI. Некоторые обобщения интеграла Лебега...... 392
§ 1. Введение ........................ 392
§ 2. Определение интеграла Перрона................ 393
§ 3. Основные свойства интеграла Перрона ............ 395
§ 4. Неопределенный интеграл Перрона .............. 397
§ 5. Сравнение интегралов Перрона и Лебега........... 399
§ 6. Абстрактно заданный интеграл и его обобщение ....... 403
§ 7. Узкий интеграл Данжуа .................... 408
§ 8. Теорема Г. Хаке......................... 411
§ 9. Теорема П. С. Александрова — Г. Ломана .......... 418
§ 10. Понятие о широком интеграле Данжуа............ 422
Глава XVII. Функции с неограниченными областями задания..... 425
§ 1. Мера неограниченного множества................ 425
§ 2. Измеримые функции ....................... 427
§ 3. Интегралы по неограниченным множествам......... 427
§ 4. Функции, суммируемые с квадратом.............. 429
§ 5 Функции с конечным изменением. Интегралы Стилтьеса ........430
§ 6. Неопределенные интегралы и абсолютно непрерывные функции множества ............. 433
Глава XVIII Некоторые сведения из функционального анализа ........436
§ 1. Метрические и, в частности, линейные нормированные пространства .................. 436
§ 2. Компактность.......................... 442
§ 3. Условия компактности в некоторых пространствах...... 447
§ 4. Банаховский «принцип неподвижной точки» и некоторые его приложения............... 462
Добавления................................ 471
I Длина дуги кривой........................ 471
II Пример Штейнгауза ....................... 474
III Некоторые дополнительные сведения о выпуклых функциях 476
