Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. - Киев: Наук. думка, 1974.
Различные процессы, протекающие в средах с инородными включениями, описываются решениями эллиптических краевых задач с теми или иными граничными условиями, задаваемыми на поверхностях этих включений. При большом числе включений области, в которых ставятся такие краевые задачи, имеют чрезвычайно сложную структуру, и даже при помощи численных методов практически невозможно найти их решения. Поэтому принципиальное значение приобретает вопрос о том, как и при каких условиях задачи такого типа можно свести к значительно более простым задачам для однородной среды и найти описывающие их уравнения. В монографии развивается общая математическая теория, дающая ответ иа этот вопрос и охватывающая большое количество конкретных задач. В качестве иллюстрации рассмотрены ее приложения к некоторым , задачам радиофизики, акустики, теории упругости и гидромеханики.
Книга предназначена для математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов. Она будет полезна также физикам, радиофизикам и механикам, интересующимся вопросами распространения волн в средах с большим числом мелких неоднородностей и аналогичными вопросами, возникающими в теории упругости и гидромеханике.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................... . . 3
Введение ..............................................5
§ 1. Первая краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка.............. 10
§ 2. Первая краевая задача для эллиптических систем уравнений произвольного порядка.......... 18
§ 3. Вторая краевая задача............. 25
Глава первая. Задача Дирихле для оператора Лапласа 34
§ 1. Некоторые сведения из теории потенциала..........34
§ 2. Постановка задачи..............................37
§ 3. Основные теоремы..............................38
§ 4. Некоторые частные случаи....................53
§ 5. Мера, связанная с последовательностью множеств ....58
§ 6. Оценка точности приближений.......... 67
Задачи ...................... 94
Глава вторая. Вариационные методы исследования краевых задач в областях с мелкозернистой границей 95
§ 1. Пространства дифференцируемых функций и вариационные методы .........................95
§ 2. Функциональная схема..........................105
§ 3. Задача Дирихле ................114
§ 4. Общий случай поверхностного распределения множеств ....137
§ 5. Некоторые примеры ..............157
Задачи ........................................169
Глава третья. Вторая краевая задача........170
§ 1. Вторая краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка. Поверхностное распределение множеств F(s)...... 170
§ 2. Некоторые частные случаи............187
§ 3. Объемное распределение множеств (случай слабого возмущения границей)..............196
§ 4. Случай сильного возмущения границей при объемном распределении...............209
Задачи........................211
Глава четвертая. Некоторые приложения и обобщения 212
§ 1. Поведение разложений единицы операторов, порождаемых краевыми задачами в областях с мелкозернистой границей ....................212
§ 2. Поведение решений некоторых эволюционных уравнений .....................216
§ 3. Задача о рассеянии волн на густых металлических решетках ...................218
§ 4. Первая краевая задача в областях со случайной мелкозернистой границей...............221
§ 5. Краевые задачи для уравнений Навье—Стокса ....... 229
Задачи .......................249
Глава пятая. Вторая краевая задача в областях с каналами ........................ 250
§ 1. Постановка задачи и вывод интегрального представления для предельной функции..........250
§ 2. Резонансные явления ..............265
Литература .............................275
