Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений.— М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 312 с.
Содержит изложение основных результатов исследований автора по асимптотическим методам решения широкого круга задач физики, механики, информатики. Теория возмущений рассматривается самостоятельно и как инструмент, применяемый для уточнения и обоснования асимптотических формул. Примеры, которыми богата книга, позволяют читателю оценить большие возможности асимптотических методов, которые кроются в их глубокой связи с характерными особенностями, спецификой решаемой задачи.
За разработки этой тематики автор удостоен Ленинской премии 1986 г.
Для специалистов в области математики, физики, механики, а также для студентов старших курсов и аспирантов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................5
ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ....................7
Введение......................................7
Глава 1. Поведение собственных функций на бесконечности и теория возмущений для уравнений с операторными коэффициентами .....10
§ 1. Некоторые сведения из теории операторов.......10
§ 2. Основной метод оценок решения.........13
§ 3. Дифференциальное уравнение второго порядка с операторными коэффициентами..............16
§ 4. Оператор первого порядка..............20
§ 5. Основная оценка для собственных функций.......21
§ 6. Две леммы абстрактной теории возмущений......23
§ 7. Теория возмущений оператора первого порядка.....24
Глава 2. Сильная сходимость решений операторных уравнений ...28
§ 1. Слабая сходимость решений...........28
§ 2. Условия сильной сходимости решений..............31
§ 3. Ряды теории возмущений для обратного оператора ....41
Глава 3. Возмущения однопараметрических полугрупп операторов и эволюционных уравнений.........43
§ 1. Введение................43
§ 2. Основная оценка решений эволюционного уравнения ....45
§ 3. Теория возмущений эволюционного уравнения.....48
§ 4. Теория возмущений полугрупп операторов.......51
Глава 4. Слабая сходимость операторов..............59
§ 1. Теорема о сходимости гомоморфизмов в топологических группах 59
§ 2. Слабо предельная непрерывность.........63
§ 3. Теорема о сильной сходимости обратных операторов и ее применение ..................66
§ 4. Регуляризация в теории возмущений слабо сходящихся операторов ..................68
ЧАСТЬ II. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРИСТИК В БОЛЬШОМ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ....72
Глава 1. Постановка задачи..........................72
§ 1. Характеристики уравнений квантовой механики.....72
§ 2. Постановка задачи Коши для уравнений квантовой механики .....85
§ 3. Общее определение характеристик для уравнения с операторными коэффициентами.......89
Глава 2. Канонический оператор...........93
§ 1. Одномерный случай.............93
§ 2. Многомерный случай.............106
Глава 3. Асимптотика решений уравнений с частными производными 113
§ 1. Квазиклассическая асимптотика..........113
§ 2. Асимптотика решений релятивистских уравнений.....115
§ 3. Примеры и следствия.............117
§ 4. Система уравнений теории упругости........121
§ 5. Стационарный случай.............123
Глава 4. Уравнения с операторными коэффициентами......127
§ 1. Уравнения в счетно-нормированных пространствах и задача многих тел в квантовой механике..........127
§ 2. Асимптотика решения задачи Коши уравнений с операторными коэффициентами ...............130
§ 3. Гиперболическая система............134
§ 4. Асимптотика собственных значений уравнения с операторными коэффициентами..............136
Глава 5. Характеристическое представление в малом для уравнений волнового типа ..................140
§ 1. Асимптотика решения уравнения Шредингера в малом ........ 141
§ 2. Теорема вложения для абстрактных функций и оценки в счетно-нормированных пространствах..........146
§ 3. Релятивистские уравнения..............152
§ 4. Разложение произвольных начальных условий на. компоненты, отвечающие различным корням характеристического многочлена ....... 159
§ 5. Решение уравнений переноса для некоторых уравнений (систем) волнового типа............162
Глава 6. Асимптотика в малом операторных уравнений с частными производными ..................169
§ 1. О корне квадратном из оператора в банаховом пространстве ........ 169
§ 2. Метод стационарной фазы для абстрактных функций ........176
§ 3. Асимптотика в малом решений абстрактных уравнений ... 197
Глава 7. Асимптотика-и большом решений абстрактных уравнений ......218
§ 1. Лемма о локальных координатах.........218
§ 2. Доказательство теорем об инвариантности ............... 220
§ 3. Асимптотика решения в большом.........229
Глава 8. Квазиклассические формулы для решений уравнений квантовой механики в целом..........233
§ 1. Метод шагов для построения асимптотики в целом ........ 234
§ 2. Леммы о решениях уравнений Гамильтона......252
Глава 9. Асимптотика решений уравнений туннельного типа .......... 269
§ 1. Системы туннельных гамильтонианов..............269
§ 2. Примеры экспоненциальных асимптотик.......272
§ 3. Туннельный канонический оператор н асимптотика фундаментального решения...............277
§ 4. Задача о больших уклонениях..........285
Добавление. Асимптотика решения задач Коши для эволюционных уравнений с быстроубывающими начальными условиями .... 288
Список основной литературы.............303
Список дополнительной литературы...........306
Список литературы к добавлению............310
