Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Главная редакция физико-математической литературы, 1977. - 456 стр.
Книга создана на основе монографии под тем же названием, вышедшей в 1973 г. и получившей высокую оценку специалистов. Настоящее издание является более универсальным по подбору методов и написано так, чтобы служить учебным пособием по курсу «Численные методы» для студентов 4—5 курсов, обучающихся по специальности «Прикладная математика».
Автор стремится акцентировать внимание на сложных задачах математической физики, которые в процессе решения сводятся, как правило, к более простым, допускающим реализацию алгоритмов на ЭВМ. В книге изложены многие современные подходы к численные методам.
Книга может представлять интерес не только для студентов, но и для аспирантов, а также для специалистов, работающих в области прикладной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................. 7
Введение.................................... 9
Г Л А В А 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
1.1. Основные и сопряженные операторы.................. 17
1.1.1. Оценки норм некоторых матриц (21). 1.1 2. Вычисление границ спектра положительной матрицы (22). 1.1.3. Собственные числа и функции оператора Лапласа (31). 1.1.4. Собственные числа и векторы конечно-разностного аналога оператора Лапласа (33).
1.2. Аппроксимация.............................. 36
1.3. Счетная устойчивость ......................... 44
1.4. Теорема сходимости........................... 52
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Метод построения разностных уравнений для задач с разрывными коэффициентами на основе интегрального тождества......... 56
2.2. Вариационные методы в математической физике........... 63
2.2.1. Метод Ритца (69). 2.2.2. Метод Галеркина (72). 2.2.3. Метод наименьших квадратов (75).
2.3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами, основанные на вариационных принципах ..... 77
2.3.1. Построение простейших разностных уравнений диффузии с помощью метода Ритца (77). 2.3.2. Построение простейших разностных схем на основе метода Галеркина (конечных элементов) (81).
2.4. Некоторые принципы конструирования подпространств для решения
одномерных задач вариационными методами ............. 83
2.4.1. Общий подход к построению вариационно-разностных схем высокого порядка точности (84). 2.4.2. Построение базиса на основе тригонометрических функций и его использование в вариационных методах (88). 2.4.3. Вариационная форма интегрального тождества (92).
2.5. Вариационно-разностные схемы для двумерного уравнения эллиптического типа............................... 9S
2.5.1. Метод Ритца (98). 2.5.2. Метод Галеркина (104). 2.5.3. Способы построения подпространств (108).
2.6. Вариационные методы для многомерных задач............ 111
2.6.1. Способы построения подпространств (111). 2.6.2. Покоординатные методы построения вариационно-разностных схем (113).
2.7. Метод фиктивных областей....................... 115
2.8. Экстремальные задачи с ограничениями и вариационные неравенства ........... 121
2.8.1. Элементы общей теории (122). 2.8.2. Примеры экстремальных задач (124). 2.8.3. Численные методы для экстремальных задач (131).
ГЛАВА 3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
3.1. Интерполяция функций одного переменного.............. 138
3.1.1. Интерполяция функций одного переменного с помощью кубических сплайнов (138). 3.1.2. Кусочно-кубическая интерполяция со сглаживанием (142). 3.1.3. Гладкие восполнения (144).
3.2. Интерполяция функций двух и многих переменных......... 146
3.3. r-гладкое приближение функций многих переменных ........ 148
3.4. Элементы общей теории сплайнов ................... 155
ГЛАВА 4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
4.1. Общие понятия теории итерационных методов ............ 162
4.2. Некоторые итерационные методы и их оптимизация......... 165
4.2.1. Простейший итерационный метод (165). 4.2.2. Сходимость и оптимизация стационарных итерационных методов (167). 4.2.3. Метод последовательной верхней релаксации (171). 4.2.4. Чебышевский итерационный метод (176). 4.2.5. Сравнение скорости сходимости итерационных методов для систем разностных уравнений (185).
4.3. Нестационарные итерационные методы................. 188
4.3.1. Теоремы сходимости (188). 4.3.2. Метод минимальных невязок (191). 4.3.3. Метод сопряженных градиентов (192).
4.4. Метод расщепления ........................... 198
4.4 1. Коммутативный случай (201). 4.4.2. Некоммутативный случай (206). 4.4.3. Вариационная и чебышевская оптимизация методов расщепления (210).
4.5. Итерационные методы для систем с вырожденными матрицами . . . 212 4.5.1. Случай совместной системы (213). 4.5.2. Случай несовместной системы (215). 4.5.3. Матричный аналог метода фиктивных областей (217).
4.6. Итерационные методы при неточных входных данных........ 221
4.7. Прямые методы решения конечно-разностных уравнений...... 223
4.7.1. Быстрое преобразование Фурье (223). 4 7.2. Метод циклической редукции (228). 4.7.3. Факторизация разностных уравнений (231).
Г Л А В А 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
5.1. Разностные схемы второго порядка аппроксимации с операторами, зависящими от времени......................... 243
5.2. Неоднородные уравнения эволюционного типа ............ 246
5.3. Методы расщепления нестационарных задач ............. 247
5.3.1. Метод стабилизации (248). 5.3.2. Метод предиктор-корректор (252). 5.3.3. Метод покомпонентного расщепления (256). 5.3.4. Некоторые общие замечания (261).
5.4. Многокомпонентное расщепление задач ................ 262
5.4.1. Метод стабилизации (263). 5.4.2. Метод предиктор-корректор (264). 5.4.3. Метод покомпонентного расщепления на основе элементарных схем (266). 5.4.4. Расщепление квазилинейных задач (272).
5.5. Общий подход к покомпонентному расщеплению........... 273
5.6. Методы решения уравнений гиперболического типа ......... 278
5.6.1. Метод стабилизации (278). 5.6.2. Сведение уравнения колебаний к эволюционной задаче (282).
Г Л А В А б. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ПО РИЧАРДСОНУ
6.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка .... 288
6.2. Одномерное уравнение диффузии........................................294
6.2.1. Метод Галеркина (294). 6.2.2. Разностный метод (300).
6.3. Метод расщепления для эволюционной задачи ........................307
6.4. Экстраполяция Ричардсона для многомерных задач..................311
ГЛАВА 7. ПОСТАНОВКА И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
7.1. Основные определения и примеры................... 317
7.2. Решение обратных эволюционных задач методом рядов Фурье . . . 322
7.3. Обратная эволюционная задача с оператором, зависящим от времени ....... 325
7.4. Постановка обратных задач на основе методов теории возмущений 331
7.4.1. Некоторые вопросы линейной теории измерений (332).
7.4.2. Сопряженные функции и понятие ценности (333). 7.4.3. Теория возмущений для линейных функционалов (336). 7.4.4. Численные методы решения обратных задач и планирование эксперимента (338).
7.5. Формулировка теории возмущений для сложных нелинейных моделей 344 7.5.1. Основные и сопряженные уравнения (345). 7.5.2. Сопряженные уравнения и теория возмущений (347). 7.5.3. Теория возмущений для нестационарных проблем (349). 7.5.4. Спектральный метод и теория возмущений (350).
ГЛАВА 8. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
8.1. Уравнение Пуассона........................... 352
8.1.1. Задача Дирихле для одномерного уравнения Пуассона (352).
8.1.2. Одномерная задача Неймана (354). 8.1.3. Двумерное уравнение Пуассона (357). 8.1.4. Проблема граничных условий (365).
8.2. Уравнение теплопроводности...................... 367
8.2.1. Одномерная задача теплопроводности (367). 8.2.2. Двумерная задача теплопроводности (372).
8.3. Уравнение колебаний .......................... 373
8.4. Уравнение движения........................... 377
8.4.1. Одномерное уравнение движения (377). 8.4.2. Двумерное уравнение движения с переменными коэффициентами (384). 8.4.3. Многомерное уравнение движения (390).
8.5. Нестационарное уравнение переноса.................. 395
ГЛАВА 9. ОБЗОР МЕТОДОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
9.1. Теория аппроксимации, устойчивости и сходимости разностных схем 410
9.2. Методы численного решения задач математической физики..........413
9.3. Условно корректные задачи..............................................419
9.4. Вычислительные методы в линейной алгебре..........................420
9.5. Вопросы оптимизации численных методов..............................424
9.6. Некоторые тенденции в развитии вычислительной математики . . . 426
Литература................................... 429
Предметный указатель ............................ 453
Указатель обозначений ............................ 455
