Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация

Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. Пер. с фр. Завьялова Ю.С., Звягиной Р.А. Под ред. Рубинштейна Г.Ш., Яненко Н.Н. - М., 1975. - 496с.
Монография одного из ведущих французских математиков П.-Ж. Лорана посвящена изложению основ теории аппроксимации и оптимизации с единой точки зрения. Первая ее часть содержит необходимые сведения из функционального анализа с подробным описанием методов, имеющих важные практические применения (конусы допустимых направлений, сплайн-функции, интерполяция, экстраполяция, квадратурные формулы и др.). Во второй части систематически изучаются задачи аппроксимации с использованием теории выпуклых функционалов. Большое внимание уделено вопросам, связанным с теорией сплайнов.
Как учебное пособие книга рассчитана на студентов старших курсов университетов. Инженеры и научные работники в области прикладной математики также найдут в ней много нового материала.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редакторов перевода................ 5
Предисловие ....................... 7
Глава 1. Конусы допустимых направлений и характеризация точек минимума ........................И
1.1. Определение конусов допустимых направлений . . .....12
1.2. Свойства конусов допустимых направлений.........14
1.3. Конусы допустимых направлений для выпуклого множества . .....18
1.4. Характеризация точек минимума с помощью конусов допустимых направлений ....................21
1.5. Теоремы отделимости выпуклых множеств.........24
1.6. Теоремы отделимости n выпуклых множеств (n > 2).....29
1.7. Основная теорема характеризации точек минимума......34
1.8. Представление конуса допустимых направлений в одном частном случае .....................37
1.9. Минимизация непрерывного линейного функционала на многограннике .......................43
Глава 2. Аппроксимация в гильбертовом пространстве.........47
2.1. Существование и единственность наилучшего приближения в выпуклом множестве..................47
2.2. Характеризация и свойства наилучшего приближения ^ выпуклом множестве .....................48
2.3. Пример приближения элементами выпуклого множества гильбертова пространства..................53
2.4. Аппроксимация элементами аффинного многообразия (сдвига подпространства) ..................56
2.5. Ортогональные системы................ 62
2.6. Ортогональные полиномы...................66
2.7. Аппроксимация на конечномерном подпространстве при бесконечном числе ограничений................74
Глава 3. Равномерное приближение непрерывных функций на компакте 81
3.1. Теоремы Вейерштрасса и Стоуна........... . 82
3.2. Теорема существования наилучшего приближения ...... 86
3.3. Теоремы характеризации наилучшего приближения ...... 87
3.4. Теорема единственности наилучшего приближения......93
3.5. Приближение на отрезке................98
3.6. Расположение критических точек и оценка отклонения . . . .102
3.7. Алгоритм Ремеза...................109
3.8. Равномерное приближение непрерывных функций с ограничениями типа неравенств ................ 122
3.9. Алгоритм Ремеза для равномерного приближения с ограничениями 136
Глава 4. Интерполяционные и сглаживающие сплайн-функции ... 148
4.1. Основные свойства полиномиальных сплайн функций . . . .150
4.2. Теорема о непрерывности обратного отображения .....173
4.3. Транспозиция линейного отображения...........179
4.4. Существование и единственность сплайн-функций.......185
4.5. Характеризация интерполяционных сплайн-функций ......200
4.6. Характеризация сглаживающих сплайн-функwий.......220
4.7. Оптимальная аппроксимация непрерывных линейных функционалов ........................233
4.8. Численное построение сплайн-функций .... .......255
Глава 5. Сходимость непрерывных линейных операторов . ...... 268
5.1. Теорема Банаха — Штейнгауза.............268
5.2. Сходимость сумм Фурье............... . 271
5.3. Сходимость аппроксимаций типа сумм Фурье........276
5.4. Сходимость полиномиальной интерполяции.........280
5.5. Сходимость аппроксимации интерполяционного типа.....286
5.6. Сходимость экстр аполяций...............290
5.7. Сходимость квадратурных формул............295
5.8. Сходимость положительных линейных операторов ....... 298
Глава 6. Выпуклые функционалы................303
6.1. Выпуклые функционалы................303
6.2. Полуненрерывность и непрерывность выпуклых функционалов . . 307
6.3. Г-регуляризация и поляра функционала..........313
6.4. Субдифференциал и производная функционала по направлению . 324
6.5. inf-конволюция и поляра суммы двух функционалов.....332
6.6. Субдифференциал суммы функционалов..........338
6.7. Исследование задачи минимизации........... . 341
6.8. Асимптотический функционал и коническая огибающая.....345
6.9. Субдифференциал и конус допустимых направлений......352
Глава 7. Устойчивость и двойственность в задачах выпуклой оптимизации 357
7.1. Возмущение задачи минимизации и двойственная задача .... 358
7.2. Простой пример......-.............360
7.3. Устойчивость задачи минимизации............363
7.4. Устойчивость и двойственность..............366
7.5. Характеризация решений................ 367
7.6. Условия устойчивости . . ............... 370
7.7. Двойственные условия устойчивости............374
7.8. Пример горизонтальных возмущений ...........378
7.9. Пример вертикальных возмущений............382
Глава 8. Аппроксимация в нормированном векторном пространстве . . 390
8.1. Характеризация наилучшего приближения элементами выпуклого множества .................... . 391
8.2. Существование наилучшего приближения.......... 399
8.3. Минимизация на конечномерном подпространстве......400
8.4. Примеры характеризаций наилучшего приближения......409
8.5. Обобщение алгоритма Ремеза..............418
8.6. Алгоритм Ремеза при наличии ограничений .........429
Глава 9. Сплайн-функции в выпуклом множестве........ . 437
9.1. Случай полиномиальных сплайн-функций ..........437
9.2. Двойственная задача и характеризация сплайн-функций в выпуклом множестве ...................439
9.3. Существование сплайн-функции в выпуклом множестве .... 448
9.4. Единственность сплайн-функции в выпуклом множестве .... 451
9.5. Примеры сплайн-функций в выпуклом множестве.......453
Список литературы ......................461
Предметный указатель .................. 493

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗