Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). — М., 1995. - 520 с.
Даны элементы теории решения сингулярных интегральных уравнений в классе абсолютно интегрируемых и неинтегрируемых функций, а также теории потенциала простого и двойного слоев для уравнения Гельмгольца. На основе этих результатов дано сведение широкого круга краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца, а также задач аэродинамики, электротехники и теории упругости к краевым сингулярным или гиперсингулярным интегральным уравнениям. Исследованы некоторые свойства этих уравнений. Для сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений приведены методы вычислений и численного решения (типа метода дискретных вихрей и интерполяционного типа) как в классе абсолютно интегрируемых, так и в классе неинтегрируемых функций. На основе этих результатов было дано математическое обоснование метода дискретных вихрей численного решения задач аэродинамики. Даны примеры вычислений, приведено построение дискретных математических моделей для широкого круга задач: стационарных и нестационарных, линейных и нелинейных, плоских и пространственных задач аэродинамики, включая обтекание плохообтекаемых тел (т.е. тел, имеющих острые кромки, углы). Кроме этого, построены дискретные математические модели также и для некоторых плоских задач теории упругости и электростатики, которые могут служить основой численного эксперимента в этих прикладных областях. Приведены результаты расчетов конкретных задач.
Для специалистов по численному эксперименту в аэродинамике, теории упругости, дифракции волн, а также математиков, занимающихся теорией и численными методами в сингулярных интегральных уравнениях. Может быть полезна аспирантам и студентам ВУЗов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Раздел I. Элементы теории сингулярных уравнений 10
Глава 1. Одномерные сингулярные интегралы 11
1.1. Функции, удовлетворяющие условию Гельдера на кривой и
понятие интеграла Коши 11
1.2. Предельные значения интеграла Коши 16
1.3. Представление интеграла Коши в окрестности узлов
кривой 17
1.4. Сингулярные интегралы, зависящие от параметра.
Формула Пуанкаре—Бертрана 19
1.5. Интеграл с ядром Гильберта 24
1.6. Сингулярные интегралы от неинтегрируемых функций 25
Глава 2. Одномерные сингулярные интегральные уравнения 29
2.1. Решение задачи Коши — Римана в классе абсолютно интегрируемых и неинтегрируемых функций 29
2.2. Решение уравнений на кусочно-гладких кривых в классе абсолютно интегрируемых и неинтегрируемых функций 37
2.3. Уравнение на отрезке, системе отрезков 45
2.4. Уравнение на замкнутом гладком контуре и с ядром Гильберта 53
Глава 3. Сингулярные интегральные уравнения с кратными
сингулярными интегралами 59
3.1. Кратные интегралы типа Коши 59
3.2. Уравнения с кратными интегралами типа Коши 65
3.3. Уравнения с действительными постоянными коэффициентами на произведениях отрезков и окружностей 77
3.4. Уравнения с кратными интегралами с ядрами Гильберта 83
Раздел II. Сведение краевых задач математической физики и
некоторых прикладных областей к сингулярным интегральным уравнениям 92
Глава 4. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Гельмгольца.
Плоский случай 93
4.1. Некоторые сведения из теории потенциалов 93
4.2. Задача Дирихле 104
4.3. Задача Неймана 114
4.4. Узлы кривых и особенности решений 122
Глава 5. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Гельмгольца.
Пространственный случай 131
5.1. Некоторые сведения из теории потенциалов 131
5.2. Задача Дирихле 135
5.3. Задача Неймана 141
Глава 6. Стационарные задачи аэрогидродинамики. Плоский случай 158
6.1. К постановке задач аэродинамики в общем случае 158
6.2. Задачи для профиля, решетки профилей 159
6.3. Задачи для профиля при наличии эжектирования 164
6.4. Учет толщины профиля с помощью снесения граничных условий
на среднюю линию 168
6.5. Учет проницаемости поверхности тонкого профиля 173
Глава 7. Стационарные задачи аэрогидродинамики.
Пространственный случай 175
7.1. О моделировании обтекаемого тела вихревой
поверхностью (слоем) 175
7.2. Бесциркуляционное обтекание произвольной
несущей поверхности 179
7.3. Стационарные нелинейные задачи 185
7.4. Циркуляционное обтекание крыла конечного размаха прямоугольной формы в плане 190
Глава 8. Нестационарные задачи аэрогидродинамики 194
8.1. Пространственная нестационарная задача
аэрогидродинамики 194
8.2. Задача для профиля с угловыми точками 197
8.3. Линейная нестационарная задача для тонкого профиля. Гипотеза Чаплыгина—Жуковского 199
8.4. Задача с жидкой границей 203
Глава 9. Нахождение аэрогидродинамических характеристик 207
9.1. Кинематические параметры. Пространственный общий случай 207
9.2. Плоский общий случай 213
9.3. Бесциркуляционное обтекание. Присоединенные массы 215
Глава 10. Некоторые задачи электростатики 218
10.1. Плоская основная задача электростатики 218
10.2. Одна смешанная краевая задача электростатики 222
Глава 11. Некоторые задачи математической физики 224
11.1. Парные сумматорные уравнения 224
11.2. Дифракция скалярной волны на плоской решетке.
Задача Дирихле и Неймана для уравнений Гельмгольца 236
Глава 12. Задачи теории упругости 243
12.1. Плоские задачи теории упругости 243
12.2. Контактная задача о вдавливании равномерно движущегося штампа в упругую полуплоскость
с учетом тепловыделения 247
12.3. О вдавливании пары равномерно движущихся
штампов в упругую полосу 255
Раздел III. Вычисление значений сингулярных интегралов 259
Глава 13. Квадратурные формулы метода дискретных вихрей для
одномерных сингулярных интегралов 260
13.1. Метод регуляризации сингулярного интеграла 260
13.2. Сингулярный интеграл по замкнутому гладкому контуру и с
ядром Гильберта 262
13.3. Сингулярный интеграл по отрезку 268
13.4. Сингулярный интеграл по кусочно-гладкой кривой 277
13.5. Соединение квадратурных и разностных формул для сингулярных интегралов на отрезке и с ядром Гильберта 282
13.6. Сингулярные интегралы, связанные с краевыми
задачами Лапласа и Гельмгольца 285
Глава 14. Квадратурные формулы интерполяционного типа для одномерных сингулярных интегралов и операторов 292
14.1. Сингулярный интеграл с ядром Гильберта 292
14.2. Сингулярный интеграл на окружности 297
14.3. Сингулярный интеграл на отрезке 299
Глава 15. Квадратурные формулы для кратных и многомерных
сингулярных интегралов 304
15.1. Квадратурные формулы для кратных сингулярных
интегралов типа метода дискретных вихрей 304
15.2. Квадратурные формулы для многомерных сингулярных интегралов 308
15.3. Квадратурные формулы для сильно сингулярных интегралов 315
15.4. Квадратурные формулы для сингулярного интеграла крыла конечного размаха 323
15.5. Примеры вычисления сингулярных интегралов 328
Глава 16. Доказательство формулы Пуанкаре-Бертрана с помощью квадратурных формул 332
16.1. Одномерные сингулярные интегралы 332
16.2. Кратные сингулярные интегралы типа Коши 336
Раздел IV. Численное решение сингулярных интегральных уравнений 340
Глава 17. Уравнения первого рода. Численный метод типа метода дискретных вихрей 341
17.1. Характеристическое уравнение на отрезке 341
17.2. Полное уравнение на отрезке . 356
17.3. Уравнение на системе непересекающихся отрезков 361
17.4. Уравнение на окружности 366
17.5. Уравнение с ядром Гильберта 371
17.6. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа 379
17.7. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца 383
Глава 18. Уравнения первого рода. Интерполяционные методы 386
18.1. Об одном свойстве сингулярных интегральных операторов 386
18.2. Общая схема построения численных методов интерполяционного типа 391
18.3. Уравнения на отрезке и системе отрезков 392
18.4. Уравнения на окружности и с ядром Гильберта 399
18.5. Задача Неймана для уравнения Гельмгольца 400
Глава 19. Уравнения второго рода. Интерполяционные методы 402
19.1. Уравнение с постоянными коэффициентами на отрезке 402
19.2. Уравнение с постоянными коэффициентами на окружности 405
19.3. Уравнение с постоянными коэффициентами с ядром Гильберта 407
19.4. Уравнение с переменными коэффициентами на отрезке 409
19.5. Уравнение с переменными коэффициентами с ядром Гильберта 413
19.6. Примеры численного решения 415
Глава 20. Сингулярные интегральные уравнения с кратными интегралами типа Коши 423
20.1. Характеристическое уравнение 423
20.2. Об одном интегро-дифференциальном уравнении 430
Раздел V. Дискретные математические модели и примеры расчетов 433
Глава 21. Дискретные вихревые системы 434
21.1. Основные положения метода дискретных вихрей 434
21.2. Основные дискретные вихревые системы 436
Глава 22. Метод дискретных вихрей для плоских стационарных задач 444
22.1. Тонкий профиль, решетка профилей 444
22.2. Телесный и проницаемый профили 451
22.3. Профиль при наличии эжектирования внешнего потока 456
Глава 23. Метод дискретных вихрей для пространственных стационарных задач 462
23.1. Прямоугольное крыло. Циркуляционное обтекание 462
23.2. Прямоугольное крыло. Бесциркуляционное обтекание 465
23.3. Плоское крыло произвольной формы в плане 469
23.4. Бесциркуляционное обтекание произвольной несущей поверхности. Присоединенные массы 473
23.5. Стационарные линейные и нелинейные задачи 477
Глава 24. Метод дискретных вихрей в нестационарных задачах аэродинамики 484
24.1. Линеиная задача для тонкого профиля 484
24.2. Нелинейная задача для профиля 486
24.3. Пространственная нелинейная задача 491
24.4. Вопросы регуляризации в методе дискретных вихрей 494
Глава 25. Метод дискретных особенностей численного решения задач из электродинамики и теории упругости 497
25.1. Плоская основная задача электростатики 497
25.2. Задачи из плоской теории упругости и теории штампов 498
Список литературы 505
Часть 1
Часть 2
