Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций

Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. Изд. 3-е, испр. и доп. М., ФМЛ, 1966г. - 388 с.
Эта книга представляет собой учебник теории аналитических функций и объеме, предусмотренной программой физико-математических факультетов университетов. Многочисленные примеры, служащие для иллюстрации общих положений и методов, напечатаны здесь петитом. Петитом же напечатаны и некоторые (впрочем, немногие) вопросы и детали, дополняющие основной курс. Читателя, желающего углубить свои познания в этой области, автор отсылает к монографиям, список которых приведен в книге.
Содержание
Предисловие..........................................................7
Предисловие к третьему изданию........................7
Введение ..............................................................9
1. Предмет теории аналитических функций (9). 2. Аналитические функции комплексного переменного (10).
Глава I. Комплексные числа и их геометрическое представление
1. Геометрическое представление комплексных чисел на плоскости (13). 2. Операции над комплексными числами (15). 3. Предел последовательности (17). 4. Бесконечность н стереографическая проекция (18). 5. Множества точек на плоскости (21)
Глава II. Функции комплексного переменного. Производная и ее геометрический и гидромеханический смысл
1. Функция комплексного переменного (25). 2. Предел функции в точке (26). 3. Непрерывность (27). 4. Непрерывная кривая (29). 5. Производная и дифференциал (32), 6. Правила дифференцирования (33) 7. Необходимые и достаточные условия диффереяцнруемости во внутренней точке области (35). 8. Геометрический смысл аргумента производной (41). 9. Геометрический смысл модуля производной (43). 10. Пример: линейная н Дробно-линейная функции (44). 11. Угол с вершиной в бесконечно удаленной точке (46). 12. Понятие о квазиконформных отображениях (47). 13. Гармоническве и сопряженные гармонические функции (49). 14. Гидромеханическое истолкование аналитической функции (53). 15. Примеры (58).
Глава III. Элементарные аналитические функции и соответствующие конформные отображения
1. Многочлен (60). 2. Точки, в которых конформность отображения нарушается (61). 3. Отображение вида ш=(г—а)" (62). 4. Групповые свойства дробно-линейных преобразований (65). 5. Круговое свойство (68). 6. Инвариантность двойного отношения (71). 7. Отображение областей, ограниченных прямыми или окружностями (77). 8. Симметрия и ее сохранение (79). 9. Примеры (82). 10. Функция Жуковского (85). 11. Определение показательной функции (90). 12. Отображение посредством показательной функции (92). 13. Тригонометрические функции (97). 14. Геометрическое поведение (102). 15. Продолжение (105). 16. Однозначные
ветви многозначных функций (107). 17. Функция (109). 18. Функция (114). 19. Логарифм (118). 20. Общие степенная и показательная функции (123). 21. Обратные тригонометрические функции (129).
Глава IV. Ряды с комплексными чвенами. Степенные ряды
1. Сходящиеся и расходящиеся ряды (133). 2. Теорема Коши — Лда-мара (135). 3. Аналитичность суммы степенного ряда (137). 4. Равномерная скоднмость (140).
Глава V. Интегрирование функций комплексного переменного
I. Интеграл от функций комплексного переменного (142). 2 Свойства интегралов (144). 3. Сведенке к вычислению обыкновенного интеграла (146). 4. Интегральная теорема Коши (147). 5. Продолжение доказательства (151). 6. Применение к вычислению определенных интегралов (153). 7. Интеграл и первообразная (162). 8. Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является аналитической на контуре интегрирования (164). 9. Теорема о составном контуре (165). 10. Интеграл как функции точки в многосвязной области (168).
Глава VI. Интегральная формула Коши и ее следствия
1. Интегральная формула Коши (172). 2. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Теорема Лиувилля (174). 3. Бесконечная диф-ферекцируемость аналитических и гармонических функций (177). 4. Замена переменной под знаком интеграла (180). 5. Теорема Морера (181). 6. Тео" реиа Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций (183). 7. Прикцяп компактности (186). 8. Теорема единственности.
Теорема Витали (191). 9. Интеграл как функция параметра (195). 10. А-точки и, в частности, нули (198). 11. Ряд степенных рядов (199). 12. Подстановка ряда в ряд (202). 13. Деление степенных рядов (205). 14. Разложение а степенные ряды функций ctgz, tgг, cscz и secz (211). 15. Разложение гармонических функций в ряд. Интеграл Пуассона и формула Шварца (213). 16. Аналитические функции многих комплексных переменных (218).
Глава VII. Ряд Лорана. Изолированные особые точхи однозначного характера. Целые и мероморфные функции
1. Ряд Лорана (223). 2. Теорема Лорана (226). 3. Изолированные особые точки однозначного характера (229). 4. Теорема Сохоцкого — Вейер-штрасса (234). 5. Особые точки производных и рациональных комбинаций аналитических функций (239). 6. Случай бесконечно удаленной точки (242). 7. Целые и мероморфные функции (243). 8. Теорема Мнттаг-Леффлера (247). 9. Разложение целой функции в произведение (249). 10. Гамма-функция (255). 11. Интегральное представленке гамма-функции (260). 12. Порядок и тип целой функцин (263). 13. Формула Иенсена (264). 14. Первая основная теорема теории мероморфвых функций (Р. Неванлинна) (267).
Глава VIII. Вычеты и их приложения. Принцип аргумента
1. Теорема о вычетах и ее применение к вычислению определенных ивтегралов (271). 2. Принцип аргумента и его следствия (277). 3. Вычет относительно бесконечно удаленной точки (283). 4. Применение теоремы о вычетах к разложению мероморфных функций на простейшие дроби (285). 6. Разложение sec z, ctg z, esc z и tg z на простейшие дроби (260).
Глава IX. Аналитическое продолжение. Понятие римоновой поверхности. Особые точки
1. Задача аналитического продолжения (298). 2. Непосредственное аналитическое продолжение (301). 3. Построение аналитической функции по ее элементам (303). 4. Построение римановой поверхности (304). 5. Принцип симметрии Римана — Шварца (307). 6. Особые точки на границе круга сходимости степенного ряда (311). 7. Критерий для обнаружения особых точек (315). 8. Определение радиуса сходимости степенного ряда по известному расположению особых точек функции (319). 9. Изолированные особые точки многозначного характера (322).
Глава X. Отображение посредством аналитических функций. Понятие об эллиптических функциях. Формула Христоффеля — Шварца
1. Отображение области посредством аналитической функции (328). 2. Принцип максимума модуля и лемма Шварца (329). 3. Локальный критерий однолистности (331). 4. Обращенке аналитической функции (333). 5. Распространение понятия однолистности на случай функций, имеющих полюсы (337). 6. Теорема Римана. Единственность отображения (338). 7. Понятие о соответствии границ. Обратная теорема (344). 8. Отображение верхней полуплоскости посредством эллиптического интеграла (351). 9. Понятие об эллиптической функции Якоби sn w (356). 10. Интеграл Христоффеля— Шварца (360). 11. Обтекание кругового цилиндра (без циркуляции) (368). 12. Гидромеханическое истолкование простейших особых точек (370). 13. Общее решение задачи об обтекании кругового цилиндра (374). 14. Определение подъемной силы крыла аэроплана (378).
Литература для дальнейшего изучения................382
Предметный указатель ........................384