Нагумо М. Лекции по современной теории уравнений в частных производных. М., 1967. - 132 с.
Эта небольшая книга, написанная видным японским специалистом, входит в серию „Современная математика", выпускаемую японским издательством „Кёрицу". В ней очень сжато рассмотрены важнейшие вопросы современной теории уравнений и систем уравнений эллиптического и гиперболического типа. В основе изложения лежит функционально-аналитический подход, который позволяет весьма отчетливо выделить принципиальные основы теории; в частности, широко применяется теория операторов в гильбертовом пространстве.
Книга, несомненно, будет полезна для всех, интересующихся теорией уравнений в частных производных и функциональным анализом. Она доступна студентам старших курсов механико-математических факультетов университетов, а также физикам и инженерам.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ..............................5
Из предисловия автора ................................7
Глава 1. Функциональные пространства.........9
1.1. Функциональные пространства .........9
1.1.1. Пространства C[G] и CA[G]........9
1.1.2. Пространства Lp[G]...........10
1.1.3. Связь между L2 и С0...........12
1.2. Нормированные пространства. Линейные операторы . 13
1.3. Функционалы. Гильбертовы пространства.....16
1.3.1. Функционалы ..........16
1.3.2. Гильбертовы пространства . . .......17
1.4. Замкнутые операторы . . ..............20
1.5. Функциональное пространство ........21
1.6. Дополнения к главе 1..................24
Глава 2. Дифференциальные операторы............25
2.1. Сопряженные дифференциальные операторы .... 26
2.2. Сопряженные матричные дифференциальные операторы первого порядка..... .......29
2.3. Сильные расширения дифференциальных операторов .............31
2.4. Слабые расширения дифференциальных операторов ............... 34
2.5. Операторы осреднения.............36
2.5.1. Интегральные операторы.........36
2.5.2. Операторы осреднения...... ... 38
2.6. Случай дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами .......... .... 42
2.7. Случай матричных дифференциальных операторов первого порядка........... .... 45
2.7.1. Матричные интегральные операторы.....45
2.7.2. Совпадение операторов Tw и Ts......48
2.8. Дополнения к главе 2.............54
Глава 3. Дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа ...........56
3.1. Семейство функций D.............57
3.2. Существование обобщенных решений.......62
3.2.1. Обобщенная задача Дирихле .......62
3.2.2. Существование решения задачи Дирихле ... 65
3.3. Применение теории Рисса—Шаудера . . .... 69
3.3.1. Сопряженные дифференциальные операторы . . 69
3.3.2. Полная непрерывность оператора Т.....71
3.3.3. Применение теории Рисса—Шаудера.....74
3.4. Дифференциальные свойства решений; семейства (2)*) 76
3.5. Теорема Соболева и се применение к исследованию дифференциальных свойств решений.........81
3.6. Дополнения к главе 3.............85
Глава 4. Дифференциальные уравнения в частных производных гиперболического типа........ . 88
4.1. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа и симметричные системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка......... . 89
4.2. Существование обобщенного решения симметричной гиперболической системы дифференциальных уравнений в частных производных............91
4.3. Задача Коши для симметричных гиперболических систем 94
4.4. Пространства D............100
4.4.1. Определение пространств ........102
4.4.2. Дифференциальный оператор Ak......104
4.5. Дифференциальные свойства решений симметричных гиперболических систем.............108
4.6. Дифференциальные свойства решений задачи Коши для симметричных гиперболических систем.......113
4.7. Область зависимости решения от начальных данных . 119
4.8. Дополнения к главе 4.............121
Послесловие....................123
Литература ....................125
Предметный указатель................128
Именной указатель.................130
