Никольский С.М. Курс математического анализа: Учебник для вузов. — 6-е изд., стереотип. — М., 2001. — 592 с.
Учебник для студентов физических и механико-математических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.
Книга содержит дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и многих переменных, теорию поля, ряды и интегралы Фурье, начала теории банаховых пространств и обобщенные функции.
Учебник исчерпывает соответствующую часть программы по математике на получение звания бакалавра.
Пятое издание — 2000 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................3
Глава 1. Введение............................11
§ 1.1. Вступление...........................11
§ 1.2. Множество. Интервал, отрезок.................11
§ 1.3. Функция......................14
§ 1.4. Понятие непрерывности функции..................24
§ 1.5. Производная..................27
§ 1.6. Первообразная. Неопределенный интеграл.................33
§ 1.7. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной фигуры......................36
Глава 2. Действительное число........................41
§2.1. Рациональные и иррациональные числа.....................41
§2.2. Определение неравенства........................46
§ 2.3. Основная лемма. Определение арифметических действий..........46
§2.4. Основные свойства действительных чисел....................49
§2.5. Изоморфизм различных представлений действительных чисел. Физические величины .................52
§2.6. Неравенства для абсолютных величин..................54
§2.7. Точные верхняя и нижняя грани множества.................55
§2.8. Символика математической логики.....................56
Глава 3. Предел последовательности..................58
§3.1. Понятие предела последовательности ....................58
§3.2. Арифметические действия с пределами..................62
§ 3.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины...................64
§3.4. Существование предела у монотонной ограниченной последовательности ...............66
§ 3.5. Число е......................68
§3.6. Леммы о вложенных отрезках, существовании точных граней множества и сечения во множестве действительных чисел ....69
§3.7. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний предел..........71
§3.8. Критерий Коши существования предела......................76
§ 3.9. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел..................77
Глава 4. Предел функции..................80
§4.1. Понятие предела функции .......................80
§4.2. Непрерывность функции в точке ........................88
§ 4.3. Пределы функции справа и слева. Монотонная функция............94
§ 4.4. Функции, непрерывные на отрезке......................98
§ 4.5. Обратная функция............................101
§ 4.6. Показательная и логарифмическая функции...................104
§4.7. Степенная функция ...........................109
§4.8. Еще о числе е..........................110
§4.10. Порядок переменной, эквивалентность (асимптотика)................112
Глава 5. Дифференциальное исчисление для функций одной переменной.................117
§ 5.1. Производная............................117
§ 5.2. Дифференциал функции.............................121
§ 5.3. Производная функции от функции......................124
§ 5.4. Производная обратной функции.....................125
§ 5.5. Таблица производных простейших элементарных функций .............128
§ 5.6. Производные и дифференциалы высшего порядка.................129
§ 5.7. Возрастание и убывание функции на интервале и в точке. Локальный экстремум .............133
§ 5.8. Теоремы о среднем значении. Критерии возрастания и убывания функции на интервале. Достаточные критерии локальных экстремумов....................135
§ 5.9. Формула Тейлора...................139
§ 5.10. Формула Тейлора для важнейших элементарных функций .........146
§ 5.11. Ряд Тейлора..........................151
§ 5.12. Выпуклость кривой в точке. Точка перегиба.....................155
§ 5.13. Выпуклость кривой на отрезке.....................157
§ 5.14. Раскрытие неопределенностей...............159
§ 5.15. Асимптота..................163
§ 5.16. Схема построения графика функции..................166
§ 5.17. Кусочно непрерывные и кусочно гладкие функции ...............170
Глава 6. n-мерное пространство. Геометрия кривой..............172
§ 6.1. n-мерное пространство. Линейное множество..................172
§ 6.2. Евклидово n-мерное пространство. Пространство со скалярным произведением ................173
§ 6.3. Линейное нормированное пространство ......................176
§ 6.4. Вектор-функция в m-мерном евклидовом пространстве ..............177
§ 6.5. Непрерывная кривая. Гладкая кривая..............................................179
§ 6.6. Геометрический смысл производной вектор-функции..................183
§ 6.7. Длина дуги кривой.....................184
§ 6.8. Касательная...........................187
§ 6.9. Основной триэдр кривой ........................188
§ 6.10. Соприкасающаяся плоскость ...........................191
§ 6.11. Кривизна и радиус кривизны кривой...............192
§ 6.12. Эволюта.............................194
§6.13. Формулы Френе. Свойства эволюты....................196
Глава 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ...................200
§ 7.1. Открытое множество....................200
§ 7.2. Предел функции.............................202
§ 7.3. Непрерывная функция.......................206
§ 7.4. Частные производные и производная по направлению ................210
§ 7.5. Дифференцируемая функция. Касательная плоскость ................211
§ 7.6. Производная сложной функции. Производная по направлению. Градиент......................215
§ 7.7. Независимость от порядка дифференцирования....................220
§ 7.8. Дифференциал функции. Дифференциал высшего порядка ..............222
§ 7.9. Теорема Больцано-Вейерштрасса ......................226
§ 7.10. Замкнутые и открытые множества.........................227
§ 7.11. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве.............229
§ 7.12. Лемма о вложенных прямоугольниках и лемма Бореля..............233
§7.13. Формула Тейлора................234
§7.14. Локальный (абсолютный) экстремум функции.....................237
§7.15. Теоремы существования неявной функции....................241
§ 7.16. Теорема существования решения системы уравнений................247
§7.17. Отображения...................251
§7.18. Гладкая поверхность .................255
§7.19. Дифференциалы неявных функций. Линеаризация ................257
§7.20. Локальный относительный экстремум.................259
§ 7.21. Замена переменных в частных производных..................267
§7.22. Система зависимых функций....................270
Глава 8. Неопределенные интегралы. Алгебра многочленов..................272
§ 8.1. Введение. Методы замены переменной и интегрирования по частям................272
§8.2. Комплексные числа.....................278
§ 8.3. Комплексные функции.................283
§ 8.4. Многочлены.........................285
§ 8.5. Разложение рациональной функции на простейшие дроби .........288
§ 8.6. Интегрирование рациональных дробей....................293
§8.7. Интегрирование алгебраических иррациональностей..............294
§ 8.8. Подстановки Эйлера.................295
§ 8.9. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева..................297
§ 8.10. Интегрирование тригонометрических выражений....................298
Часть 1
§ 8.11. Тригонометрические подстановки.......................301
§ 8.12. Несколько важных интералов, не выражаемых в элементарных функциях................302
Глава 9. Определенный интеграл Римана.......................303
§ 9.1. Вступление..............303
§ 9.2. Ограниченность интегрируемой функции..................304
§ 9.3. Суммы Дарбу..........................305
§ 9.4. Основная теорема.................306
§ 9.5. Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на [а,Ь] ................309
§ 9.6. Аддитивные и однородные свойства интеграла.....................310
§ 9.7. Неравенства и теорема о среднем......................312
§ 9.8. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона-Лейбница ....................314
§9.9. Вторая теорема о среднем.....................318
§9.10. Видоизменение функции....................318
§9.11. Несобственные интегралы...........................319
§ 9.12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций............323
§9.13. Интегрирование по частям ......................325
§9.14. Несобственный интеграл и ряд.......................327
§9.15. Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках............330
§ 9.16. Формула Тейлора с отстатком в интегральной форме................331
§ 9.17. Формулы Валлиса и Стирлинга...................332
Глава 10. Некоторые приложения интегралов. Приближенные методы...................333
§10.1. Площадь в полярных координатах................333
§10.2. Объем тела вращения...................334
§10.3. Длина дуги гладкой кривой...............335
§10.4. Площадь поверхности тела вращения................337
§10.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа.................339
§10.6. Квадратурные формулы прямоугольников....................340
§10.7. Формула Симпсона......................341
Глава 11. Ряды....................343
§ 11.1. Понятие ряда..........................343
§11.2. Действия с рядами...........................345
§11.3. Ряды с неотрицательными членами......................346
§11.4. Ряд Лейбница.........................350
§11.5. Абсолютно сходящиеся ряды................350
§ 11.6. Условно и безусловно сходящиеся ряды с действительными членами...............354
§ 11.7. Последовательности и ряды функций. Равномерная сходимость.........356
§ 11.8. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов на отрезке ..............362
§ 11.9. Кратные ряды. Перемножение абсолютно сходящихся рядов .............368
§ 11.10. Суммирование рядов и последовательностей методом средних арифметических .................371
§11.11. Степенные ряды.......................372
§ 11.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов............377
§ 11.13. Степенные ряды функций cosz, smz комплексной переменной .........380
Глава 12. Кратные интегралы..............383
§ 12.1. Введение ........383
§12.2. МераЖордана.................385
§ 12.3. Важные примеры квадрируемых по Жордану множеств............390
§ 12.4. Еще один критерий измеримости множеств. Полярные координаты ..............392
§12.5. Другие случаи измеримости..................393
§12.6. Понятие кратного интеграла.................394
§ 12.7. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Основная теорема ...........397
§ 12.8. Интегрируемость непрерывной функции на замкнутом измеримом множестве. Другие критерии ..............403
§12.9. Свойства кратных интегралов ..............404
§ 12.10. Сведение кратного интеграла к интегрированию по отдельным переменным....................406
§12.11. Непрерывность интеграла по параметру..................412
§12.12. Геометрическая интерпретация знака определителя....................414
§ 12.13. Замена переменных в кратном интеграле. Простейший случай...........415
§12.14. Замена переменных в кратном интеграле ...................417
§ 12.15. Доказательство леммы 1 § 12.14........................420
§12.16. Полярные координаты в плоскости.......................424
§12.17. Полярные и цилиндрические координаты в пространстве..........426
§12.18. Гладкая поверхность .....................428
§12.19. Площадь поверхности..........................431
Глава 13. Теория поля. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Несобственные интегралы...........438
§13.1. Криволинейный интеграл первого рода..................438
§13.2. Криволинейный интеграл второго рода..............439
§ 13.3. Поле потенциала....................442
§ 13.4. Ориентация плоской области .......................450
§ 13.5. Формула Грина. Выражение площади через криволинейный интеграл...............451
§ 13.6. Интеграл по поверхности первого рода.................454
§13.7. Ориентация поверхностей ...................457
§13.8. Интеграл по ориентированной плоской области.................461
§13.9. Поток вектора через ориентированную поверхность.............463
§13.10. Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского.................466
§13.11. Ротор вектора. Формула Стокса..........................472
§13.12. Дифференцирование интеграла по параметру..........................476
§13.13. Несобственный интеграл .........................478
§13.14. Равномерная сходимость несобственного интеграла..................485
§ 13.15. Равномерно сходящийся интеграл для неограниченной области..............491
Глава 14. Линейные нормированные пространства. Ортогональные системы..............498
§ 14.1. Пространство С непрерывных функций.................498
§14.2. Пространства L1 (L) ..................500
§14.3. Пространство L2 (£2)..................504
§ 14.4. Пространство L'p(Q) (Lp(tt))..............507
§ 14.5. Полнота системы элементов в банаховом пространстве..............507
§ 14.6. Ортогональная система в пространстве со скалярным произведением ...........507
§14.7. Ортогонализация системы.................515
§14.8. Полнота системы функций в С, L2 (L2) и Lf (L) ...................517
Глава 15. Ряды Фурье. Приближение функций полиномами..............519
§15.1. Предварительные сведения ..............519
§15.2. Сумма Дирихле................525
§15.3. Формулы для остатка ряда Фурье.................527
§15.4. Теоремы об осцилляции...................530
§ 15.5. Критерий сходимости рядов Фурье. Полнота тригонометрической системы функций.............534
§15.6. Комплексная форма записи ряда Фурье...............541
§ 15.7. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье................544
§15.8. Оценка остатка ряда Фурье...............546
§ 15.9. Алгебраические многочлены. Многочлены Чебышева..............548
§15.10. Теорема Вейерштрасса.................549
§15.11. Многочлены Лежандра..................550
Глава 16. Интеграл Фурье. Обобщенные функции...............553
§16.1. Понятие интеграла Фурье ...............553
§ 16.2. Сходимость простого интеграла Фурье к порождающей его функции..............556
§ 16.3. Преобразование Фурье. Повторный интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье..............558
§ 16.4. Производная преобразования Фурье.......................562
§16.5. Обобщенные функции в смысле D.......................563
§ 16.6. Пространство S................570
§ 16.7. Пространство Sf обобщенных функций...............574
Предметный указатель................583
Часть 2
