Высшая математика: Учебное пособие/П Ф Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко; Пол общ. ред. П. Ф. Овчинникова,— К., 1987.— 552 с.
Содержится материал по основным разделам высшей математики. Особенностью пособия является обобщенный подход к формулировке и доказательству основных методов аналитической геометрии, линейной алгебры и математического анализа. Обобщен опыт применения дидактических методов и приемов с целью активизации мыслительной деятельности обучающихся в процессе изучения курса математики.
Изложение теоретического материала сопровождается примерами решения задач. С целью закрепления учебного материала предлагаются задания для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов технических вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................3
Глава I. ЛИНЕПНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ I. Числа и пространства.................. 5
1.1. Координатная ось или одномерное пространство.......5
1.2. Угол между осями..................6
1.3. Косоугольная и прямоугольная системы координат на плоскости. Двумерное пространство................6
1.4. Полярная система координат...............7
1.5. Косоугольная система координат в пространстве. Трехмерное пространство ..........8
1.6. Прямоугольная система координат Декарта в пространстве .......9
1.7. Цилиндрическая система координат............10
1.8. Сферическая система координат.............11
1.9. n-мерное пространство.................11
§ 2. Векторная алгебра конечномерных пространств.........12
2.1. Векторные и скалярные величины............12
2.2. Определение вектора по компонентам...........14
2.3. Операции над векторами в наглядном пространстве ........16
2.4 Операции над векторами, заданными своими компонентами ..........18
2.5. Линейное пространство..............19
2.6. Система векторов и способ се задания. Линейная комбинация векторов................20
2.7. Матрицы и их виды..................22
2.8. Действия с матрицами................24
2.9. Определитель и миноры матрицы.............28
2.10. Свойства определителей................32
2.11. Скалярная форма линейной зависимости и независимости системы вскторон......................33
2.12. Теоремы о линейно зависимых и линейно независимых векторах 35
2.13. Казне. Линейное подпространство. Ранг матрицы......36
2.14. Скалярное произведение двух векторов..........42
2.15 Длина вектора и угол в n-мерном пространстве. Неравенство Буня-
ковского — Коши — Шварца...............43
2.16. Проекции вектора на ось..............................44
2.17. Основные приложения скалярного произведения двух векторов 46
2.18. Деление отрезка в данном отношении. Координаты центра масс (тяжести)................47
2.19. Векторное произведение двух векторов...........50
2.20. Приложения векторного произведении..........52
2.21. Произведение трех векторов. Смешанное произведение и его свойства.................55
2.22. Двойное векторное произведение.............59
§ 3. Системы линейных алгебраических уравнений..........60
3.1. Линейные алгебраические уравнения. Теорема Кронекера — Капелли..........60
3.2. Метод Гаусса.....................62
33. Однородная система линейных алгебраических уравнений. Общее и частное решения.........64
3.4. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Общее и частное решения...........70
3.5. Обратная матрица.................71
3.6. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений...............72
§ 4. Линейные преобразования.................74
4.1. Преобразования (операторы, отображенич).........74
4.2. Линейные преобразования и их связь с матрицами......76
4.3. Матрица перехода от одного базиса к другому. Случай наглядных пространств...............79
4.4. Преобразование координат. Параллельный перенос и поворот (в наглядных пространствах).............81
4.5. Дробно-линейная функция и её геометрический смысл..........85
4.6. Преобразование координат n-мерного вектора при переходе к новому базису...............86
4.7. Ядро и область значений линейного преобразования......87
4.8. Собственные векторы и собственные числа матрицы линейного преобразования................87
§ 5. Линейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.............94
5.1. Линейные формы...................94
5.2. Квадратичные формы.................95
Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Поверхности и их уравнения................100
1.1. Поверхность и её уравнение...............100
1.2. Уравнение сферической поверхности............101
1.3. Простые цилиндрические поверхности..........101
1.4. Уравнение линии в пространстве.............102
1.5. Алгебраические поверхности...............103
§ 2. Плоскость.......................103
2.1. Векторное и обшее уравнения плоскости..........103
2.2. Исследование общего уравнения плоскости.........105
23. Уравнение плоскости в отрезках на осях..........105
2.4. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ... 106
2.5. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.................107
2.6. Уравнение плоскости, проходящей через две данные точки параллельно данному вектору................108
2.7. Угол между двумя плоскостями.............I0R
2.8. Условие пересечения трех плоскостей в одной точке.....109
2.9. Нормальное уравнение плоскости............110
2.10. Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду ......111
2.11. Расстояние от точки до плоскости............112
2.12. Прямая на координатной плоскости............113
2.13. Нормальное уравнение прямой на плоскости.........116
§ 3. Прямая линия в трехмерном пространстве...........118
3.1. Канонические и параметрические уравнения прямой......118
3.2. Канонические и общее уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две точки.............120
8.3. Угол между двумя прямыми в трехмерном пространстве .... 122
3.4. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости .... 123
3.5. Расстояние от точки до прямей в трехмерном пространстве .........123
§ 4. Прямая и плоскость....................124
4.1. Угол между прямой и плоскостью.............124
4.2. Условия параллельности и перпендикулярности прямей и плоскости .......125
4.3. Топка пересечения прямой с плоскостью...........125
4.4. Пучок плоскостей.................126
4.5. Уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно другой прямой...........127
4.6. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми ........128
§ 5. Кривые второго порядка .............129
5.1. Общее уравнение кривой второго порядка..........129
5.2. Эллипс.....................130
5.3. Полярное уравнение эллипса ..............133
5.4. Гипербола......................135
5.5. Полярное уравнение гиперболы..............137
5.6. Парабола ...............138
5.7. Приведение крнных второго порядка к простейшему (каноническому) виду................141
§ 6 Поверхности второго порядка...............145
6.1. Обшее уравнение поверхности второго порядка........145
6.2. Произвольная цилиндрическая поверхность ........146
6.3. Произвольная коническая поверхность . ........147
6.4. Поверхности вращения.................148
6.5. Метод параллельных сечений при исследовании поверхностей .......150
6.6. Схема приведения поверхностей второго порядка к каноническому виду................153
Глава 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
§ 1. Символика математической логики..............156
1.1. Высказывание....................156
1.2. Операции над высказываниями ............156
1.3. Предикат (неопределенное высказывание, или высказывательная форма)...............157
1.4. Кванторы....................158
1.5. Понятие теоремы. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимость и достаточность ........158
§ 2. Последовательности н переменные............... 160
2.1. Числовые промежутки................160
2.2. Множества......................162
2.3. Переменные и постоянные величины .........165
2.4. Модуль (абсолютное значение) величины...........166
2.5. Определение и примеры последовательностей........168
2.6. Предел последовательности. Предел переменной.......170
2.7. Единственность предела последовательности (переменной величины) ......176
2.8. Ограниченная и неограниченная переменная ........177
2.9. Бесконечно малые переменные (последовательиости)............179
2.10. Арифметические операции над переменными, имеющими предел .............181
2.11. Монотонные последовательности.............183
2.12. Число е....................185
2.13. Натуральные логарифмы.............187
2.14. Бесконечно большие последовательности (переменные). Неопределенные выражения..............187
§ 3. Функции........................190
3.1. функции одной переменной...............ISO
3.2. Операции над функциями ...............197
3.3 Элементарные функции и их классификация ........ 198
3.4. Ограниченные функции........ 202
3.5. Монотонные функции.............203
3.6. Четные и нечетные функции ...........204
3.7. Периодические функции...........201
3.8. Обратные функции..............205
3.9. Функции, заданные параметрически............207
3.10 Параметрические уравнения эллипса, окружности и гиперболы ......208
3.11. Циклоида............209
3.12. Параметрическое и векторное задание построенной кривой ........209
3.13. Винтовая линия .................210
3.14. Неявное задание функции..............211
3.15. Тела в л мерном евклидовом пространстве .......212
3.16. Окрестности точки n- мерного пространства........215
3.17. Функции многих переменных и способы их задании.....216
3.18. Классификации функций многих переменных .....222
§ 4. Предел функции....................225
4.1. Предел функции одной переменной по Коши........225
4.2. Предел функции по Гейне.................233
4.3. Два замечательных предела..............238
4.4. Предел функции многих переменных ..........241
§ 5. Непрерывность функций..............246
5.1. Приращение аргумента и Приращение функции ........246
5.2. Непрерывность функции одной переменной в точке .......249
5.3. Функции одной переменной, непрерывные в промежутке . . . 252
5.4. Геометрическая интерпретация непрерывности функции одной переменной а точке. Равномерная непрерывность.. ....253
5.5. Непрерывность функции многих переменных в точке ......254
5.6. Точки разрыва. Разрывные функции..........255
5.7. Действия с непрерывными функциями...........259
5.8. Непрерывность простейших элементарных функций ......259
5.9. Непрерывность сложной функции...........260
5.10. Некоторые важные пределы функции одной переменной .......261
5.11. Сравнение бесконечно малых функций одной переменной ........261
Часть 1
5.12. Общие свойства непрерывных функций...........264
§ 6. Некоторые сведения о комплексных числах и функциях......268
6.1. Комплексные числа..................268
6.2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической и тригонометрической формах..........271
6.3. Функции комплексного переменного...........275
6.4. Показательная форма комплексного числа, формулы Эйлера .......276
6.5. Непрерывность функции комплексного переменного .....277
Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Задачи и понятия, приводящие к введению производной функции одной переменной..............280
1.1. Физические задачи.................280
1.2. Касательная и сё угловой коэффициент........281
§ 2. Определение производной функции одной переменной Уравнение касательной к кривой. Физический смысл производной........... 282
2.1. Теорема о непрерывности функции, имеющей производную ......285
§ 3. Частные производные первого порядка функции многих переменных ..........286
3.1. Определение частных производных ...........286
3.2. Вычисление частных производных от функции .............287
3.3. Геометрическое значение частных производных функции..................287
§ 4. Теоремы о производных..................289
4.1. Производная постоянной у=с..............289
4.2. Производная функций у=х...............289
4.3. Производная линейной комбинации функций ..........289
4.4. Теорема о производной произведении функций...........290
4.5. Теорема о производной частного двух функций .........291
4.6. Производные тригонометрических функций ..............292
4.7. Теорема о производной обратной функции.........293
4.8. Производная обратных тригонометрических функции ...........294
4.9. Производная логарифмической функции ...........295
4.10. Производная показательной функции............296
§ 5. Производная сложной функции..............296
5.1. Производная гиперболических функций..........297
5.2. Дифференцирование неявно заданной функции одной переменной ...........298
5.3. Уравнение касательной к кривой второго порядка .........298
5.4. Производная показательно-степенной функции........299
5.5. Производная степенной функции при любом показателе степени ........300
§ 6. Таблица производных.................. 301
§ 7. Производная функции одной переменной, заданной параметрически ........302
§ 8. Дифференцируемые функции одной переменной.........303
§ 9. Односторонние производные................303
§ 10. Бесконечные производные..................304
§ 11. Примеры функций, имеющих разрывные производные.......304
§ 12. Производные высших порядков функций одной переменной.....305
12.1. Формула Лейбница.................306
12.2. Производная второго порядка функции одной переменной, заданной параметрически ...........307
§ 13. Частные производные высших порядков. Теорема Шварца.....307
§ 14. Дифференциал функции одной переменной..........310
11.1. Таблица некоторых дифференциалов...........311
14.2. Геометрический смысл дифференциала...........311
14.3. Инвариантность формы дифференциала..........312
14.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям функции .......312
§ 15. Частый и полный дифференциалы функции многих переменных. Дифференцируемые функции ...............313
§ 16. Дифференцирование сложной функции многих переменных ..........317
§ 17. Инвариантность формы первого дифференциала функции многих переменных .................319
§ 18. Применение полного дифференциала функции многих переменных к вычислению функций и погрешностей..............320
§ 19. Дифференцирование неявной функции.............323
§ 20. Дифференциалы высших порядков функции одной и многих переменных .............325
§ 21. Ориентированные кривые..................328
21.1. Длина дуги и её дифференциал..............329
21.2 Производная вектор-функции но скалярному аргументу .......331
21.3. Уравнение касательных к пространственной кривой.....333
§ 22. Кривизна кривых....................334
22.1. Вычисление кривизны кривой..............337
22.2. Разложение ускорения на нормальное и касательное.....342
§ 23. Вскторпос и скалярное поле................342
23.1. Производная по направлению. Градиент.........343
23.2. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Уравнение..........345
§ 24. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы о среднем) ........349
24.1. Теорема Рслля...................350
24.2. Теорема Лагоанжа..................351
24.3. Формула Лагранжа.................352
24.4. Теорема Коши...................352
§ 25. Правило раскрытия неопределенностей............353
§ 26. Формула Тейлора для функции одной и многих переменных.....357
26.1. Формула Тейлора для функции одной переменной......357
26.2. Формула Тейлора для функции многих переменных......365
§ 27. Применение теорем дифференциального исчисления к исследованию функций .............369
27.1. Условие постоянстве функции..............369
27.2. Признаки монотонности функции............369
27.3. Определение промежутков монотонности функции ...... 370
§ 28. Экстремум функции одной и многих переменных. Необходимые условия и их роль................370
28.1. Необходимые условия экстремума функции.........372
28.2. Роль необходимых условий .... ..........373
§ 29. Достаточные условия экстремума функции одной переменной .... 374
§ 30. Выпуклость н вогнутость кривой..............376
30.1. Условие выпуклости и вогну гости кривой.........376
30.2. Точки перегиба кривой.................377
30.3. Порядок определения точек перегиба...........378
§ 31. Асимптоты кривой. Построение графика функций одной переменной .........378
31.1. Уравнение вертикальной асимптоты............379
31.2. Уравнение наклонной асимптоты.............380
31.3. Построеьие графика функций одной переменкой.......380
§ 32. Касание плоских кривых..................382
§ 33. Круг и центр кривизны плоских кривых. Эволюта и эвольвента ..........384
§ 34. Определенные, неопределенные и полуопределенные квадратичные формы ......385
34.1. Знакоопределснные квадратичные формы.........386
§ 35. Достаточные условия экстремума функции многих переменных ...........389
§ 36. Условный экстремум...................392
§ 37. Метод наименьших квадратов................396
§ 38. Приближенные методы решения конечных уравнений.......398
38.1. Метод проб.....................400
38.2. Метод хорд, или метод пропорциональных отрезков......401
38.3. Метод Ньютона, или метод касательных..........403
38.4. Комбинированный метод хорд и касательных........405
38.5. Метод итераций или метол повторений..........406
Глава 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл...........408
1.1. Свойства неопределенного интеграла...........409
§ 2. Таблица основных интегралов................410
§ 3. Основные методы интегрирования функций...........411
3.1. Метод непосредственного интегрирования..........412
3.2. Метод замены переменной пол знаком интеграла.......412
3.3. Обобщение некоторых табличных интегралов........413
3.4. Метод итерирования по частям.............414
3.5. Интегралы, вычисляемые с помощью метода интегрирования по частям .............416
§ 4. Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен .......417
§ 5. Разложение многочлена на множители............420
5.1. Теорема Безу. Основная теорема алгебры..........421
5.2. Разложение многочлена на линейные и нелинейные множители .........422
5.3. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные, или..............423
§ 7. Интегрирование рациональных дробей.............426
§ 8. Методы отыскания неопределенных коэффициентов рациональной дроби на элементарные.............427
8.1. Метод сравнения коэффициентов.............427
8.2. Метод произвольных (подходящих) значений аргумента ........427
8.3. Метод умножения...................429
8.4. Метод последовательного дифференцирования ........431
§ 9. Интегрирование рациональных выражений, содержащих тригонометрические функции...............433
9.1. Интегралы ог произведении синуса н косинуса........435
§ 10. Интегрирование иррациональных выражений .........437
§ 11. Интегрирование дифференциальных биномов..........439
§ 12. Подстановки Эйлера. Тригонометрические подстановки Метод Остроградского................441
Глава б. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Мера области евклидового пространства............444
1.1. Мера одномерного пространства.............446
1.2. Мера двумерного пространства.............447
1.3. Мера трехмерного пространства..........450
1.4. Мера на пространственной кривой ........... 451
1.5. Мера на поверхиости.................452
1.6. Мера на л-мерном евклидовом пространстве.........453
§ 2. Интеграл по области (мера).................453
§ 3. Частные типы интегралов и задачи, к ним приводящие.........454
3.1. Определенный интеграл............... 454
3.2. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла .........454
3.3. Двойной интеграл...................456
3.4. Тройной интеграл.................. 458
3.5. Кратные интегралы................. 459
3.6. Криволинейный интеграл первого рода...........459
3.7. Криволинейный интеграл второго рода ......... 460
3.8. Поверхностный интеграл первого рода ..........462
3.9. Поверхностный интеграл вгорого рода...........462
§ 4. Теоремы существования интеграла по области......... 465
§ 5. Свойств интегралов по области...............466
§ 6. Свойства интегралов с ориентированной мерой..........468
§ 7. Вычисление интегралов................. 469
7.1. Вычисление определенного интеграла ...........469
7.2. Замена переменной под знаком определенного интеграла ........471
7.3. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле ........472
7.4. Вычисление криволинейного интеграла первого рода..........474
7.5. Длина дуги кривой и ее вычисление...........475
7.6. Вычисление криволинейных интегралов второго рода.........476
7.7. Применение криволинейного интеграла второго рода к вычислению площади области, ограниченной замкнутой кривой......478
7.8. Правильные области.................480
7.9. Повторные нптергалы.................482
7.10. Зависимость между двойным и двукратным повторным интегралами .........484
7.11. Трехкратный и тройной интегралы............487
7.12. Замена переменных в двойных и тройных интегралах..........488
7.13. Переход в тройных интегралах к цилиндрическим и сферическим координатам...............493
7.14. Вычисление площади поверхности............497
7.15. Вычисление интеграла первого рода по поверхности.....498
§ 8. Соотношение между различными типами определенных интегралов
(элементы теории поля) ..................500
8.1. Формула Остроградского — Грина.............501
8.2. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.........502
8.3. Формула Остроградского ..............505
8 4. Дивергенция векторного поля..........507
8.5. Формула Стокса..................509
8.6. Вихрь или ротор векторного поля.............509
8.7. Дифференциальные операции векторного поля........511
8.8. Потенциальное поле..................512
8.9. Оператор Лапласа..................514
§ 9. Несобственные интегралы.............515
9.1. Несобственные интегралы по неограниченной области.....515
9.2. Интегралы от неограниченной функции .........520
§ 10. Интегралы, зависящиее от параметра..............522
§ 11. Производная и интеграл от функции комплексного переменного..........527
11.1. Условия Коши — Римана.....................528
11.2. Определение интеграла от функции комплексного переменного ..........529
11.3. Интегральная теорема Коши .............531
§ 12. Приложения интегралов..............532
12.1. Геометрические приложения...............632
12.2. Физические приложения................633
12.3. Общая схема приложения интегралов........536
§ 13. Приближенное вычисление определенных интегралов.......637
13.1. Формула прямоугольников..............537
13.2. Формула трапеций................638
13.3. Формула парабол (формула Симпсона)..........538
Предметный указатель.....................540
