Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике (Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Дифференциальное исчисление функций одной и многих независимых переменных. Интегральное исчисление функций одной одной независимой переменной. Интегрирование дифференциальных уравнений). Часть I-III. - Харьков: изд-во при Харьковском гос. университете, 1967. - 947с.
В книге разобраны и подробно решены типовые задачи по аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, дифференциальному и интегральному исчислениям и по интегрированию дифференциальных уравнений.
Из задач, помещенных для самостоятельного решения, многие снабжены указаниями, промежуточными результатами и ответами.
Книга рассчитана на студентов высших технических учебных заведений, может быть полезна также преподавателям, ведущим практические занятия.
СОДЕРЖАНИЕ
Часть I
Практические занятия по аналитической геометрии на плоскости и в пространстве
Первое практическое занятие. Координаты точки на плоскости. Расстояние между двумя точками ..... 8
Второе практическое занятие. Деление отрезка в заданном отношении. Координаты середины отрезка. Определение площади треугольника по известным координатам его вершин ..... 15
Третье практическое занятие. Различные виды уравнения прямой. Исследование общего уравнения прямой. Построение прямой по ее уравнению ...... 23
Четвертое практическое занятие. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Определение .точки пересечения двух прямых ..... 35
Пятое практическое занятие. Расстояние от данной точки до данной прямой ..... 46
Шестое практическое занятие. Уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми. Задачи повышенной трудности ..... 52
Седьмое практическое занятие. Полярная система координат. Переход от полярных координат к декартовым и обратно. Построение кривой, определяемой уравнением в полярных координатах .... 61
Восьмое практическое занятие. Составление уравнения кривой по ее геометрическим свойствам ..... 73
Девятое практическое занятие. Продолжение упражнений в составлении уравнений линий ..... 77
Десятое практическое занятие.- Кривые второго порядка: окружность, эллипс. ..... 82
Одиннадцатое практическое занятие. Кривые второго порядка: гипербола, парабола ..... 89
Двенадцатое практическое занятие. Преобразование прямоугольных координат. Параллельный перенос координатных осей без изменения их направления .... 99
Тринадцатое практическое занятие. Преобразование координат поворотом координатных осей без изменения начала координат .....110
Четырнадцатое практическое занятие. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка .....116
Пятнадцатое практическое занятие. Определители и системы линейных алгебраических уравнений...... 124
Шестнадцатое практическое занятие. Векторная алгебра...... 139
Семнадцатое практическое занятие. Основные задачи на плоскость ..... 159
Восемнадцатое практическое занятие. Основные задачи на прямую в пространстве .....171
Девятнадцатое практическое занятие. Задачи на прямую и плоскость ..... 180
Двадцатое практическое занятие. Поверхности второго порядка ..... 188
Часть II
Практические занятия по дифференциальному исчислению функций одной и многих независимых переменных
Первое практическое занятие. Интервал, отрезок, промежуток. Абсолютная величина числа. Свойства абсолютных величин. ...212
Второе практическое занятие. Величины постоянные и переменные. Функция. Область существования функции. Основные элементарные функции ....217
Третье практическое занятие. Продолжение упражнений в определении области существования функции ....225
Четвертое практическое занятие. Построение графиков функций ..... 229
Пятое практическое занятие. Продолжение упражнений в построении графиков функций. Графики показательной и логарифмической функций.... 239
Шестое практическое занятие. Построение графиков тригонометрических и обратных тригонометрических функций ....244
Седьмое практическое занятие. Построение графиков функций, заданных несколькими аналитическими выражениями. Построение графика суммы,
разности и произведения нескольких функций..... 254
Восьмое практическое занятие. Решение уравнений с помощью графиков. (Графическое решение уравнений)..... 259
Девятое практическое занятие. Обратная функция и ее график. Периодические функции.... 263
Десятое практическое занятие. Последовательности..... 267
Одиннадцатое практическое занятие. Предел последовательности ..... 271
Двенадцатое практическое занятие. Дальнейшие упражнения в определении предела последовательности..... 280
Тринадцатое практическое занятие. Определение предела последовательности (задачи повышенной трудности).. ..291
Четырнадцатое практическое занятие. Предел функции..... 300
Пятнадцатое практическое занятие. Продолжение упражнений на нахождение предела функции ....308
Шестнадцатое практическое занятие. Определение пределов тригонометрических функций и упражнения на использование предела lim sinx/x....316
Семнадцатое практическое занятие. Число е ....323
Восемнадцатое практическое занятие. Вычисление пределов выражений, содержащих логарифмы и показательные функции ....333
Девятнадцатое практическое занятие. Сравнение бесконечно малых величин .....338
Двадцатое практическое занятие. Непрерывность функции. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.... 343
Двадцать первое практическое занятие. Задачи, приводящие к вычислению производной. Непосредственное вычисление производной из определения. Геометрический и механический смысл производной ..... 358
Двадцать второе практическое занятие. Дифференцирование алгебраических функций ..... 364
Двадцать третье практическое занятие. Дифференцирование тригонометрических функций ..... 377
Двадцать четвертое практическое занятие. Дифференцирование обратных тригонометрических функций .... 382
Двадцать пятое практическое занятие. Дифференцирование логарифмической и показательной функций. Логарифмическое дифференцирование .... 389
Двадцать шестое практическое занятие. Гиперболические функции. Дифференцирование гиперболических функций. Дифференцирование неявных функций.... 397
Двадцать седьмое практическое занятие. Параметрическое представление функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически ..... 401
Двадцать восьмое практическое занятие. Дифференциал функции .... 407
Двадцать девятое практическое занятие. Производные высших порядков. Формула Лейбница..... 418
Тридцатое практическое занятие. Предел отношения двух бесконечно малых и двух бесконечно больших величин (Правило Лопиталя) ..... 423
Тридцать первое практическое занятие. Возрастание и убывание функции ..... 434
Тридцать второе практическое занятие. Определение максимума и минимума функций. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ... 439
Тридцать третье практическое занятие. Продолжение упражнений на определение максимума и минимума функций и их наибольшего и наименьшего значения на отрезке .... 449
Тридцать четвертое практическое занятие. Точки перегиба. Асимптоты ... 463
Тридцать пятое практическое занятие. Общее исследование функции ... 471
Тридцать шестое практическое занятие. Геометрические приложения производной: уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Длины касательной и нормали. Подкасательная и поднормаль и их длины. Кривизна, радиус кривизны. Центр кривизны. Соотношение между радиусом кривизны и длиной нормали. Эволюта кривой ... 481
Тридцать седьмое практическое занятие. Функции многих независимых переменных. Область существования. Частные производные. Полное приращение и полный дифференциал первого порядка функции нескольких независимых переменных .... 499
Тридцать восьмое практическое занятие. Дифференцирование сложной функции от одной и нескольких независимых переменных.... 512
Тридцать девятое практическое занятие- Производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких независимых переменных .... 520
Сороковое практическое занятие. Линии и поверхности уровня. Производная функции по заданному направлению. Градиент функции .... 535
Сорок первое практическое занятие. Дифференцирование неявных функций ..... 543
Сорок второе практическое занятие. Экстремум функции нескольких независимых переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух независимых переменных.... 550
Сорок третье практическое занятие. Касательная плоскость и нормаль к поверхности .... 568
Часть III
Практические занятия по интегральному исчислению и интегрированию дифференциальных уравнений
Первое практическое занятие. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Непосредственное интегрирование .... 575
Второе практическое занятие. Интегрирование показательной и тригонометрических функций .... 591
Третье практическое занятие. Продолжение упражнений в непосредственном интегрировании ..... 600
Четвертое практическое занятие. Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки). Интегрирование по частям .... 614
Пятое практическое занятие. Простейшие дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие .... 627
Шестое практическое занятие. Интегрирование простейших рациональных дробей ..... 637
Седьмое практическое занятие. Интегрирование рациональных дробей .... 648
Восьмое практическое занятие. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции .... 658
Девятое практическое занятие. Интегрирование алгебраических иррациональностей ..... 685
Десятое практическое занятие. Интегральная сумма. Определенный интеграл и его основные свойства. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы .... 716
Одиннадцатое практическое занятие. Задачи механики и физики, приводящие к определенному интегралу .... 729
Двенадцатое практическое занятие. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Теорема о среднем значении .... 745
Тринадцатое практическое занятие. Несобственные интегралы по бесконечному интервалу и от разрывных функций. Принцип сравнения несобственных интегралов с положительными подынтегральными функциями .... 756
Четырнадцатое практическое занятие. Приближенное вычисление интегралов: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона (формула парабол) ..... 770
Пятнадцатое практическое занятие. Приложения определенного интеграла к геометрии. Определение площадей плоских фигур ..... 777
Шестнадцатое практическое занятие. Приложения определенного интеграла к геометрии (продолжение): длина дуги плоской кривой, объем тела вращения, поверхность тела вращения .... 7S2
Семнадцатое практическое занятие. Дифференциальные уравнения первого порядка .... 812
Восемнадцатое практическое занятие. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 838
Девятнадцатое практическое занятие. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ..... 865
Двадцатое практическое занятие. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения ..... 897
Двадцать первое практическое занятие. Уравнение Эйлера. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ..... 926
