Сборник задач по геометрии. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов, часть II. М., 1975.
Настоящий задачник составлен в соответствии с новой программой по геометрии для студентов вторых курсов физико-математических факультетов педагогических институтов по специальности «математика». В нем отражена идея единства всех геометрических дисциплин.
При составлении задачника имелось в виду, что, кроме студентов дневных отделений, им будут пользоваться также студенты заочных и вечерних отделений педагогических институтов и учителя средней школы. В связи с этим задачи, кроме ответов, снабжены также указаниями, а иногда и решениями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................... 3
Раздел первый. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Глава 1. Прямые и плоскости в проективном пространстве. Проективные преобразования .............. 6
§ 1. Принцип двойственности; теорема Дезарга.............. 6
I. Проективное пространство (6). 2. Задачи на построение (8). 3. Расширенные аффинное и евклидово пространства (8).
§ 2. Координаты точек на прямой. Сложное отношение и гармонические четверки ................................ 9
1. Координаты точек на проективной прямой (9). 2. Задачи на построение (11). 3. Прямая в расширенном аффинном и евклидовом пространствах (И).
§ 3. Проективные отображения; преобразования прямых и пучков..... 12
1. Свойства проективных отображений и преобразований (12). 2. Задачи на построение (13). § 4. Инволюции; аналитическое задание проективных преобразований ... 14 I. Инволюции (14), 2*. Проективное преобразование прямой в координатах (16). 3. Проективные преобразования прямой расширенного евклидова и аффинного пространств (17).
§ 5. Проективные координаты точек и прямых на плоскости. Формулы преобразования ................ 18
1. Проективные координаты точек и прямых (18). 2. Формулы преобразования (20). 3. Решение геометрических задач методом координат (20).
§ 6. Проективные преобразования плоскости................ 21
1. Проективные преобразования в координатах {22). 2. Гомологии; геометрические приложения (22). 3. Задачи на построение (24). 4*. Свойства гомологии (продолжение) (25).
Глава II. Линии второго порядка на проективной плоскости ...... 26
§ 7. Линии второго порядка .............27
1. Определение линии второго порядка; уравнение линии (28). 2. Теоремы Паскаля и Бриан-шона; задачи на построение (29).
§ 8. Полюсы и поляры .................. 30
1. Определение полюсов и поляр (31). 2. Точки и прямые, сопряженные относительно линии второго порядка (32). 3. Задачи на построение (34).
§ Проективное преобразование точек овальной линии второго порядка ..... 35
1*. Свойства проективных отображений овальной линии второго порядка (35). 2*. Задачи на построение (36).
Глава III. Аффинная геометрия с проективной точки зрения; приложения к элементарной геометрии........... 38
§ 10. Геометрия плоскостей Р и Р*2................... 38
1. Аффинные коллинеации (38). 2. Линии второго порядка на плоскости Р2 (41).
§ 11. Приложения проективной геометрии к решению задач элементарной геометрии .............. 42
1. Задачи на доказательство (43). 2. Геометрические построения, выполняемые одной линейкой (44).
§ 12*. Аффинные построения на проективной модели............ 45
1*. Простейшие построения (45). 2*. Задачи на построение с применением теорем Паскаля и Бриакшона для гиперболы и параболы (45). 3*. Задачи на построение с применением полярной теории линий второго порядка (47).
Глава IV. Евклидова геометрия с проективной точки зрения; приложения к элементарной геометрии ............ 48
§ 13. Геометрия плоскостей Pf и Р преобразования подобия....... 48
1. Преобразования подобия (48). 2. Биссекторы двух прямых (52).
§ 14. Окружности на плоскостях Р и длина отрезка .......... 53
I. Окружность (53). 2. Длина отрезка (55),
§ 15*. Фокусы линий второго порядка.................. 55
1*. Общая теория; фокусы центральных линий второго порядка (55). Фокальная теория параболы (57).
16, Движения с проективной точки зрения ............... 58
§ 17*. Приложение проективной геометрии к задачам на построение в евклидовой плоскости, выполняемые различными средствами......... 58
1*. Задачи на построение в плоскости Р (59). 2*. Геометрические построения одной линейкой (на плоскости дана вспомогательная фигура). (60)
Раздел второй. Геометрические построения на плоскости и в пространстве. Методы изображений
Глава V. Методы геометрических построений на плоскости........ 61
§ 18. Простейшие построения ................ 61
§ 19. Применение свойств некоторых множеств точек к решению задач на построение ........... 62
§ 20. Задачи на построение треугольников по различным элементам..... 64
§ 21. Геометрические построения с применением свойств параллельного переноса, поворота и симметрии.......... 65
§ 22. Геометрические построения, выполняемые с применением свойств преобразований подобия ......... 67
§ 23. Геометрические построения с применением свойств инверсии. Задача Аполлония........... 69
Глава VI. Теория геометрических построений............. 70
§ 24. Алгебраический метод решения задач на построение.......... 70
§ 25. Разрешимость задач на построение циркулем и линейкой....... 72
§ 26. Построения на плоскости ограниченными средствами......... 73
1. Геометрические построения, выполняемые с помощью угольника с прямым углом или линейки с параллельными краями (73). 2. Геометрические построения одним циркулем (73).
Глава VII. Геометрические построения в пространстве......... 74
§ 27. Задачи на отыскание множеств точек и прямых в пространстве .....74
§ 28. Простейшие построения .............76
§ 29. Построения в пространстве с применением свойств некоторых множеств точек..............77
§ 30. Построения в пространстве с применением свойств некоторых множеств точек (продолжение) ...........79
Глава VIII. Методы изображений................... 80
§ 31. Изображение плоских фигур в параллельной проекции........ 80
§ 32. Аксонометрия................ 81
1. Позиционные задачи (81). 2. Метрические задачи (82).
§ 33. Ортогональные аксонометрические проекции ..........83
§ 34. Полные и неполные изображения..........84
§ 35. Метрическая определенность изображений ...........85
1.Изображение плоских фигур (85). 2. Изображение пространственных фигур (86).
§ 36. Метод Монжа............... 87
§ 37. Линейная перспектива ................ 88
Раздел третий. Основания геометрии. линии и поверхности в евклидовом пространстве. Элементы топологии
Глава IX. Основания геометрии............. 89
§ 38. Интерпретации различных систем аксиом по Вейлю. Непротиворечивость и независимость ........... 92
I. Интерпретации различных систем аксиом (91). 2. Непротиворечивость и независимость аксиоматики пространства ТЕ3 (93).
§ 39. Обоснование евклидовой геометрии по Вейлю............ 94
1. Скалярное произведение векторов; модуль вектора (94). 2. Свойства треугольников (95). 3. Некоторые теоремы стереометрии (95).
40. Интерпретации аксиом евклидовой геометрии й геометрии Лобачевского по Гильберту. Независимость аксиом .........96
1. Различные интерпретация (96). 2. Исследование аксиом Гильберта (98).
§ 41. Задачи на доказательство в плоскости Лобачевского............99
§ 42*. Задачи на построение на различных моделях плоскости Лобачевского ...101
1*. Интерпретация Клейна (101). 2*. Общая интерпретация Пуанкаре (101). 3*. Частная интерпретация Пуанкаре (102),
Глава X. Кривые в евклидовом пространстве ...........102
§ 43. Понятие кривой; длина дуги...........102
1. Понятие пути; допустимые изменения параметра (103). 2. Уравнения кривой; регулярные кривые (104). 3. Длина дуги; естественная параметризация (107).
§ 44. Сопровождающий трехгранник кривой .............107
I. Касательная к кривой; соприкасающаяся плоскость (107). 2. Сопровождающий трехгранник кривой (108).
§ 45. Кривизна и кручение кривой. Понятие о натуральных уравнениях .....111
§ 46. Плоские кривые ...............112
Глава XI. Поверхности в евклидовом пространстве. Элементы топологии ...........114
§ 47. Понятие простой поверхности; простейшие топологические свойства .....114
1. Регулярные параметрические представления и локальные системы координат (116).
2. Простые поверхности (118),
§ 48. Касательная плоскость и нормаль. Линии на поверхности.......118
1. Касательная плоскость и нормаль (118). 2. Линии на поверхности (120).
§ 49. Первая квадратичная форма. Длина дуги на поверхности.......120
§ 50. Угол между линиями на поверхности................122
§ 51. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма ......124
§ 52. Полная и средняя кривизны поверхности............126
§ 53. Замечательные линии на поверхности................127
Глава XII. Элементы топологии ...............128
§ 54. Топологические пространства .............128
I. Топологические пространства; открытые и замкнутые множества (129). 2. Замыкание множества; связные и компактные множества (131).
§ 55. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы ............132
I. Непрерывные отображения (132). 2. Гомеоморфизмы; топологически эквивалентные пространства (134). 3. Эйлерова характеристика поверхности (135).
Ответы и указания .............136
Указатель применяемых символов и обозначений.....169
Список литературы ............172
